Из всех текстовых задач на движение особое место занимают задачи на движение по течению и против течения реки. Для успешного их решения необходимо различать 4 вида движения: течение реки, собственное движение, движение по течению и движение против течения реки.

Вид движения «течение реки» встречается в тех задачах, в которых рассматриваются движения немеханизированных объектов, например, движение плота. Такой вид движения возможен только по течению и скорость движущегося объекта всегда совпадает со скоростью течения реки.

Собственное движение характерно для механизированных объектов в стоячей воде, например, катер движется по озеру.

Движение по течению и движение против течения реки формируется из двух видов движения – собственного и течения реки.

При движении по течению направления течения реки и движения объекта совпадают, поэтому скорость перемещения тела при этом виде движения равна сумме собственной скорости тела и скорости течения

vсобств + vтечения.

При движении против течения течение реки препятствует движению объекта, поэтому скорость перемещения тела при этом виде движения равна разности собственной скорости тела и скорости течения

vсобств– vтечения.

Полезно знать, что сумма скоростей по течению и против течения реки равна удвоенной собственной скорости

vпо теч + vпротив теч = 2vсобств,

а разность этих скоростей равна удвоенной скорости течения реки

vпо теч – vпротив теч = 2vтечения.

Часто упрощает решение задач на движение понимание взаимной обратной зависимости скорости и времени движения: чем больше время, тем меньше скорость движения, и, наоборот, чем больше скорость движения, тем меньше времени тратится на прохождение пути.

В качестве неизвестных в таких текстовых задачах удобно выбирать расстояние и скорости движущихся тел, если они не заданы. В задачах, где в условии не представлены единицы длины, принято весь путь брать за единицу длины, а часть этого пути выражают долей всего пути без наименования.

В текстовых задачах на движение, связанных с течением реки, при проведении смысловой проверки полезно знать, что моторная лодка имеет собственную скорость12 – 40 км/ч, скорость течения реки изменяется в пределах 1 – 4км/ч, а скорость лодки на вёслах составляет примерно 3 – 8км/ч.

Рассмотрим приёмы решения текстовых задач на движение по течению и против течения на примерах решения следующих задач.

Задача 1.От пристани А до пристани В моторная лодка по течению реки проходит за 6 часов, а возвращается за 10 часов. За сколько часов пройдёт расстояние от А до В плот?

РЕШЕНИЕ.Решим задачу арифметическим способом.

Мы знаем, что расстояние определяется по формуле S = vt, где v– скорость лодки, t– время движения лодки, выраженное в часах. В задаче не используются единицы длины, значит, расстояние от А до В обозначим за единицу 1.

По условию задачи моторная лодка по течению реки проходит за 6 часов, значит, скорость по течению реки равна 1 : 6.

Моторная лодка возвращается за 10 часов, значит, расстояние АВ против течения реки лодка проходит за 10 часов, следовательно, её скорость при таком движении равна одной десятой. Для того, чтобы найти время движения плота на дистанции АВ, надо найти скорость плота, которая совпадает со скоростью течения реки. Известно, что удвоенная скорость течения реки равна разности скоростей по течению и против течения, то есть 

2vтечения = vпо теч – vпротив теч.

Вычислив разность скоростей по течению и против течения реки, имеем

Таким образом, решив уравнение

получаем, что скорость течения реки

Получили, что за 1 час плот проплывёт одну тридцатую всего пути от пункта А до пункта В.

Чтобы найти время движения плота, надо путь 1 единицу разделить на скорость его движения.

Получили, что плот пройдёт расстояние от А до В за 30часов.

Ответ: 30 часов.

А теперь рассмотрим алгебраический способ решения данной задачи. введём переменные пусть х км/ч – собственная скорость моторной лодки, у км/ч – скорость течения реки.

Cоставим таблицу данных с введёнными переменными.

Обозначим в столбцах таблицы элементы движения:

v– скорость, выраженная в км/ч,

t– время, выраженное в часах,

S– расстояние, выраженное в км.

В строках – виды движения: собственное движение, течение, движение по течению, движение против течения. Заметим, что движение течения и движение плота – это идентичные виды движения. Заполним таблицу согласно условий задачи.

В собственном виде движения мы ввели скорость движения лодки х км/ч, внесём её в соответствующую ячейку таблицы, в ячейках t и S поставим прочерк, так как эти данные не используются в данной задаче. В движении плота мы ввели скорость течения реки у км/ч, внесём в таблицу, а ячейки t и S заполним позже.

В движении по течению реки выразим скорость v суммой скоростей лодки и течения, то есть х + у км/ч, время t по условию задачи равно 6ч, значит, можем выразить расстояние от пункта А до пункта В. Оно равно 6(х + у)км.

В движении против течения реки выразим скорость vразностью скоростей лодки и течения, то есть х – у км/ч, время t по условию задачи равно 10ч, значит, можем выразить расстояние от пункта А до пункта В. Оно равно 10(х – у)км.

В движениях по течению и против течения реки расстояния равны между собой, значит, можем составить уравнение 6(х + у) = 10(х – у).

Дополним строку движения плота: расстояние S будет равно расстоянию движения по течению или против течения, значит, можем вписать выражение 6(х + у) км или 10(х – у) км.

Теперь можем выразить время движения плота

Или

Из уравнения 6(х + у) = 10(х – у) выразим одну переменную через другую, например, переменную х через у.

Имеем, 6х + 6у = 10х – 10у.

Отсюда получаем 4х = 16у, следовательно, х = 4у.

Подставим 4у вместо х в одно из выражений времени движения плота, имеем

Мы ответили на главный вопрос задачи: за 30 часов плот пройдёт расстояние от А до В.

Решим эту же задачу графическим способом.

Зададим координатную плоскость: по горизонтальной оси абсцисс будем отмечать время движения, по вертикальной оси ординат отметим расстояние АВ. По течению реки лодка прошла 6 часов, значит, изобразим движение лодки синим отрезком АС с концами в точках А(0; 0) и С(6; АВ).

Против течения реки лодка прошла 10 часов, значит, изобразим движение лодки зелёным отрезком АD с концами в точках A(0; 0) и D(10; АВ). Рассмотрим на синей и зелёной линиях точки с абсциссой 1 и отметим их точками K и L соответственно. Точку на оси абсцисс с абсциссой 1 обозначим буквой Р. Таким образом, отрезок РК моделирует скорость движения лодки по течению, PL моделирует скорость движения лодки против течения.

Так как собственная скорость лодки есть среднее арифметическое между скоростями по течению и против течения реки, то линия собственного движения будет расположена между синей и зелёной линиями и будет являться медианой треугольника, образованного этими линиями и прямой х = 1. Обозначим середину отрезка КL точкой Т. Отрезок РТ моделирует собственную скорость движения лодки, Чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо расстояние АВ поделить на скорость течения реки. Эта скорость моделируется на графикеравными отрезками КТ и ТL. Отрезки будут равны, так как они отражают разность скоростей по течению и собственной или разность скоростей собственной и против течения.

Отметим красным цветом отрезок АЕ с концами в точке А(0;0) и точке Е – точкой пересечения луча АЕ с прямой у = АВ, лежащий на отрезке АТ. Таким образом, время движения плота равно отношению длины отрезка АВ к длине отрезка КТ или АВ к длине отрезка TL, то есть

Чтобы найти длину отрезка KТ, надо найти полуразность скоростей по течению и против течения реки, а значит, полуразность длин отрезков РК и РL, то есть (РК – PL) : 2.

Так как АВ = 6РК = 10PL, то PL = 0,6PK. Имеем,

Получили, что плот пройдёт расстояние АВ за 30 часов.

Таким образом, на этом занятии мы решили одну и ту же задачу тремя различными способами и увидели, что ответ на главный вопрос задачи не зависит от способа её решения. Во всех трёх случаях мы получили один и тот же ответ.