Множество чисел, каждое из которых имеет номер, называется числовой последовательностью. Например, в последовательности чисел 3; 7; 12; 19; ... и так далее, член последовательности 3 имеет номер 1, так как стоит на первом месте, а член последовательности 12 имеет номер 3, так как стоит на 3-ем месте. Обозначают члены последовательности прописными латинскими буквами с нижним индексом порядкового номера. Например, член последовательности х7 стоит на седьмом месте последовательности (хn). Из всех последовательностей выделяют две особые: арифметическую прогрессию и геометрическую прогрессию.

Геометрической прогрессией (bn) b1b2 ...bn-1bnbn+1 ... называется последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего в одно и то же число

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается латинской буквой q. Зная первый член b1, отличный от нуля, знаменатель q и номер n члена геометрической прогрессии можно вычислить член прогрессии bn, стоящий на n - м месте, по формуле bn= b1 · qn – 1 .

В решении задач на геометрическую прогрессию полезно помнить основное свойство членов прогрессии, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому рядом стоящих членов, то есть квадратному корню из их произведения

Сумма n членов геометрической прогрессии Sn вычисляется как отношение произведения первого члена на 1 минус q в степени n к разности числа 1 и знаменателя прогрессии q, причём знаменатель q не равен 1:

или как отношение разности первого члена и последнего члена умноженного на знаменатель к разности числа 1 и знаменателя q, где знаменатель q не равен 1.

Все рассмотренные формулы суммы геометрической прогрессии применимы для конечной геометрической прогрессии.

Для бесконечной убывающей геометрической прогрессии знаменатель должен изменяться 

от –1 до 1. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле отношения первого члена прогрессии к разности числа 1 и знаменателя q.

Рассмотрим примеры текстовых задач на использование формул геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА 1. Колобок сбежал от дедушки с бабушкой и до встречи с зайцем прокатился 300 метров, а от встречи с медведем до встречи с лисицей 2км 400 метров. На какое расстояние укатился Колобок от дома, если все отрезки его пути между встречами, а именно до встречи с зайцем, до встречи с волком, до встречи с медведем и до встречи с лисицей составляют геометрическую прогрессию? Ответ выразить в километрах.

РЕШЕНИЕ. Смоделируем задачу, переведем на язык математики. По условию все отрезки пути Колобка между встречами: до встречи с зайцем, до встречи с волком, до встречи с медведем и до встречи с лисицей составляют геометрическую прогрессию. Значит, первый член геометрической прогрессии равен длине пути Колобка от дома до встречи с зайцем, то есть 300 метров b1 = 300.

Всего в данной прогрессии 4 члена: это длины отрезков пути до встречи с зайцем, с волком, с медведем и лисицей. Последний 4-ый член прогрессии равен 2км 400м или 2400м, так как по условию задачи Колобок прокатился от встречи с медведем до встречи с лисицей 2км 400 метров. Пользуясь формулой n-го члена прогрессии, выразим 4-й член, как

b4 = b1 · q3. Подставив в полученное уравнение значения первого и четвёртого членов геометрической прогрессии имеем уравнение с переменной q, такое как 300 · q3=2400.

Решая его, получаем единственный корень q =2. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо найти сумму всех отрезков пути, пройденных Колобком между встречами. На математическом языке нашей модели ответом будет являться сумма всех 4-х членов геометрической прогрессии. Применим формулу суммы геометрической прогрессии равную отношению разности первого члена прогрессии и последнего члена умноженного на знаменатель прогрессии q к разности числа 1 и знаменателя q.

Получили, что сумма данной геометрической прогрессии равна 4500. Мы ответили на главный вопрос задачи: 4500м или 4,5 км прокатился Колобок от дома до встречи с лисицей.

ОТВЕТ: 4,5 км.

ЗАДАЧА 2. Мальвина, Пьеро и Буратино зашли перекусить в театральный буфет Карабаса-Барабаса. Суммы денег, которые имел каждый из них, образуют геометрическую прогрессию. После обеда выяснилось, что у Пьеро осталось 150 рублей, у Мальвины – 180 рублей, а у Буратино –230 рублей. Определите, сколько денег потратил в буфете Буратино, если известно, что Мальвина заплатила за обед в 2 раза больше, а Буратино в 3 раза больше, чем потратил на обед Пьеро?

РЕШЕНИЕ. Решим задачу алгебраическим способом. Главным вопросом задачи является сумма денег, потраченных на обед Буратино. Но так как это число в 3 раза больше денег, потраченных Пьеро, то вопреки общепринятому правилу удобнее за переменную х рублей принять деньги, потраченные в буфете Пьеро, тогда затраты Буратино составят 3х рублей, а затраты Мальвины 2х рублей.

Смоделируем данные задачи на языке математики в форме геометрической прогрессии. Так как Мальвина потратила денег больше, чем Пьеро и остаток денег у Пьеро (150 рублей) меньше остатка денег у Мальвины (180 рублей), то очевидно, что первым членом прогрессии b1 будет являться капитал Пьеро до обеда (150 + х рублей), вторым членом b2 - первоначальная сумма денег Мальвины (180 + 2х рублей), а третьим членом геометрической прогрессии b3 будет изначальная сумма денег Буратино (230 + 3х рублей).

По основному свойству пропорции для любых трёх рядом стоящих членов геометрической прогрессии выполняется соотношение, что квадрат среднего члена равен произведению двух рядом стоящих членов прогрессии bk2 = bk –1 · bk+1. Значит, для прогрессии данной задачи имеем, что квадрат второго члена равен произведению первого и третьего членов прогрессии b22 = b1 · b3. Подставив соответствующие выражения в полученное соотношение, имеем квадратное уравнение (180 + 2х)2 = (150 + х)(230 + 3х). Раскроем скобки и выполним тождественные преобразования над полученным уравнением. Имеем 32400 + 720х + 4х2 = 3х2 + 680х + 34500. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение х2 + 40х – 2100 = 0, которое имеет корни х1 = 30 и х2 = –70. Корень х = –70 является посторонним решением, так как значение (затраты Пьеро), не может быть отрицательной величиной. Корень х = 30 позволяет определить ответ на главный вопрос задачи. Но здесь потребуется дополнительное вычисление: 30 умноженное на 3. Получили, что Буратино потратил на обед 90 рублей.

Мы ответили на главный вопрос задачи. Ответ: 90 рублей.

Рассмотрим комбинированную задачу на одновременное применение свойств арифметической и геометрической прогрессий.

ЗАДАЧА 3. Возраст Шарика, Дяди Фёдора и почтальона Печкина из Простоквашино образуют геометрическую прогрессию. Если все их прожитые годы сложить, то получится 42 года. А если возраст Шарика увеличить на 1 год и возраст почтальона Печкина уменьшить на 19 лет, то в результате возрасты героев из Простоквашино образуют арифметическую прогрессию.

Определить возраст почтальона Печкина.

РЕШЕНИЕ. Решим задачу алгебраическим способом. Пусть х лет – возраст Шарика и первый член прогрессии b1 = x; q – знаменатель геометрической прогрессии, тогда возраст Дяди Фёдора будет вторым членом прогрессии и выразится b2 = x · q, а возраст почтальона Печкина является третьим членом прогрессии и выразится b3 = x · q2. По условию задачи, если все их прожитые годы сложить, то получится 42 года, значит, х + хq + xq2 = 42.

В условии задачи также сказано, что, если возраст Шарика увеличить на 1 и возраст почтальона Печкина уменьшить на 19, то в результате возрасты героев из Простоквашино образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, для последовательности чисел

х + 1; xq; xq2 – 19 можно применить основное свойство арифметической прогрессии, что среди любых рядом стоящих трёх членов прогрессии удвоенный средний член равен сумме двух рядом стоящих членов прогрессии 2?k = ?k-1 + ?k+1.

Значит, 2xq = (x + 1) + (xq2 – 19). Перенесём всё в правую часть, тогда имеем уравнение

xq2 + х(1 – 2q) _ 18 = 0. Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными х и q.

В обоих уравнениях выразим переменную х через q и приравняем выражения. Получаем

Известно, что в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, значит, 42(q2 – 2q + 1) = 18(1 + q + q2). Раскроем скобки, перенесём слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые. Имеем 24q2 – 102q +24 = 0. Разделим обе части уравнения на 6, тогда квадратное уравнение 4q2 – 17q + 4 = 0 имеет корни q = 4 и q =0,25. По смыслу задачи заданная геометрическая прогрессия должна быть возрастающей, так как возраст почтальона Печкина, а значит и последний член прогрессии должен быть наибольшей величиной, следовательно, значение знаменателя прогрессии q должно быть больше 1. Тогда корень q = 0,25 является посторонним решением. Вычислим

Теперь ответим на главный вопрос задачи – определим возраст почтальона Печкина. Для этого xq2 = 2 · 42 = 2 · 16 = 32. Получили, что возраст почтальона Печкина составляет 32 года.

ОТВЕТ: 32 года.