На этом занятии мы рассмотрим линейные неравенства с одной переменной, познакомимся с основными понятиями и разберём на примерах решения линейных неравенств с помощью свойств равносильности неравенств.

Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида ах + b < 0, где старший коэффициент a ≠0 и свободный член b – действительные числа.

Такой вид линейного неравенства называют ещё стандартным. Причем знак неравенства может быть не только меньше <, но и больше >, не больше ≤, не меньше ≥.

Частным решением линейного неравенства называется такое значение переменной х, которое обращает его в верное неравенство.

Например, в линейном неравенстве:

– 2х – 1 > 0

старший коэффициент а = – 2, а свободный член b = – 1. Если в это неравенство вместо х подставить число – 0,5, то получим неравенство:

– 2 · (– 0,5) – 1 > 0

Вычислив значение выражения левой части, получаем неверное неравенство:

0 > 0

Следовательно, число – 0,5 не является частным решением данного линейного неравенства. Если же в это неравенство вместо х подставить число – 3, то получим:

– 2 · ( – 3) – 1 > 0

Вычислив значение выражения левой части, имеем верное неравенство:

5 > 0

Следовательно, число – 3 является частным решением данного линейного неравенства. Множество всех частных решений неравенства называется его общим решением. Или это множество называют просто решением неравенства. Если неравенство не имеет частных решений, то говорят, что его решением является пустое множество, которое обозначают зачёркнутым кружочком – Ø.

Например, решением неравенства:

0х < – 5

является пустое множество, потому что нет таких значений х, которые бы обратили это неравенство в верное.

При решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или, другими словами, если множества частных решений этих неравенств совпадают. Рассмотрим основные свойства равносильности неравенств, позволяющие находить решение линейного неравенства.

1-е свойство: если любой член неравенства перенести из одной его части в другую, сменив знак члена неравенства на противоположный, а знак неравенства оставить прежним, то получится неравенство, равносильное исходному.

Например, неравенства 4х + 3 ≤ 0 и 4х ≤ –3 равносильны, так как второе неравенство получилось из первого переносом числа +3 вправо с последующим изменением знака + на – с сохранением знака неравенства ≤.

2-е свойство: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, а знак неравенства при этом оставить прежним, то получится неравенство, равносильное исходному.

3-е свойство: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, а знак неравенства при этом сменить на противоположный (≤ на ≥, > на < и так далее), то получится неравенство, равносильное исходному.

Например, если обе части неравенства 2х – 3 ≥ 0 умножить на положительное число 5, то получим равносильное неравенство 10х – 15 ≥ 0. Заметим, что знак неравенства ≥ при этом сохраняется. 2х – 3 ≥ 0 |· 5 |=> 10x – 15 ≥ 0. Если обе части неравенства – 6х + 4 < 0 разделить на – 2, то получим равносильное неравенство 3х – 2 > 0. Обратим внимание, что знак неравенства < при этом меняем на противоположный знак >.

Рассмотрим примеры решения линейных неравенств.

РЕШЕНИЕ. Приведём данное линейное неравенство к виду ах > b. Для этого все члены с переменной х перенесём влево, а все числа – вправо, сменив знаки перенесённых членов на противоположные и сохранив знак неравенства прежним. Имеем 7х – 3х > 19 + 9 или после приведения подобных слагаемых 4х > 28. Теперь обе части полученного неравенства разделим на положительное число 4, при этом знак неравенства оставим прежним согласно 2-му свойству равносильности неравенств. Имеем x > 7. Мы решили линейное неравенство с одной переменной. Это решение может быть записано и в виде интервала:

ОТВЕТ: х > 7 или открытый луч (7; +∞)

РЕШЕНИЕ. Данное неравенство содержит дроби. Но знаменатели дробей не содержат переменной х, следовательно, данное неравенство относится к линейным. Избавимся от дроби. Для этого каждое слагаемое обеих частей неравенства домножим на общий знаменатель всех дробей, то есть на положительное число 24. При этом знак неравенства ≤ сохраним согласно 2-му свойству равносильности неравенств. Получим неравенство:

– 48 – 8х + 18х – 30 ≤ 24х – 15. Приведём его к виду ах ≤ b. Для этого все члены с переменной х перенесём влево, а без х – вправо, сменив знаки перенесённых членов на противоположные и оставив знак неравенства прежним. Получим равносильное неравенство согласно 1-му свойству равносильности неравенств – 8х + 18х – 24х ≤ 48 + 30 – 15. Приведя подобные слагаемые в обеих частях неравенства, имеем – 14х ≤ 63. Чтобы получить решение неравенства, обе его части разделим на отрицательное число – 14, сменив знак неравенства на противоположный ≥ согласно 3-му свойству равносильности неравенств. Имеем х ≥ – 4,5. Это решение можно записать и через промежутки в форме луча:

ОТВЕТ: x ≥ 4,5 или луч [4,5; +∞) .