Мы познакомимся с параллельными прямыми, их свойствами, а так же научимся определять и обозначать их.

Две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо не пересекаться. Две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными. «Параллелос» в переводе с греческого языка означает «рядом идущие». В математике для обозначения параллельности используют специальный знак ||. Запись AB || MN означает, что прямые AB и MN параллельны, а читают эту запись так: «Прямая АВ параллельна прямой MN”. Если AB||MN, то MN||AB. Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (лучами).

Параллелограмм получил свое название, потому что прямые, являющиеся продолжением его противоположных сторон, «идут рядом» - не пересекаются, т.е. являются параллельными.

И в трапеции две стороны, её основания, тоже являются параллельными (они не пересекаются), а две боковые стороны, если их продолжить, пересекутся в одной точке.

Заметим, что установить параллельность прямых на глаз невозможно. Например, когда мы смотрим на железнодорожные или трамвайные пути, то кажется, что пара рельсов, составляющая колею, где-то впереди пересекается. Но на самом деле рельсы уложены таким образом, что они никогда не пересекаются друг с другом.

Обосновать то или иное предположение можно используя рассуждения.

Докажем параллельность противоположных сторон прямоугольника. Возьмем прямоугольник АВСD. Предположим, что его противоположные стороны ВС и АD не параллельны, а значит мы можем продолжить их до пересечения друг с другом. Обозначим эту точку буквой К, в итоге получим треугольник СКD. Поскольку АВСD – прямоугольник, то углы С и D являются прямыми, т.е. равны 90о каждый. Если в треугольнике СКD найти сумму всех углов, то результат получится больше 180о. Это произойдет потому, что угол С и угол Dв сумме дадут эту цифру. А еще у нас есть угол К. Но зная свойства углов треугольника (в сумме они дают 180о), мы можем сделать вывод, что такая ситуация невозможна. Значит, наше предположение о том, что прямые ВС и АD могут пересекаться, неверно. Отсюда следует, что они параллельны. Также доказывается параллельность дух других сторон прямоугольника.

Вывод: противоположные стороны прямоугольника параллельны.

Пусть дана прямая t и точка О не принадлежащая этой прямой. Построим прямую t1 симметричную прямой t относительно т. О. Что можно сказать о взаимном расположении данных прямых: они пересекаются или параллельны?

Допустим, эти прямые пересекаются в точке М. Тогда, точка М принадлежит обеим прямым. Значит и симметричная ей точка принадлежит обеим прямым. Но тогда прямые t и t1 имеют две точки пересечения, а этого не может быть.

Следовательно, прямая t ll t1, то есть две центрально-симметричные прямые параллельны.

А теперь построим прямую а и отметим точку N, не принадлежащую данной прямой. Через точку N проведем прямую n параллельную a . Допустим, что через точку N можно провести еще одну прямую m, параллельную а. Тогда прямая n будет параллельна прямой m, но это невозможно, так как прямые n и m пересекаются.

Значит, через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Существуют еще свойства параллельных прямых:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу (если а||с, b||с, то и a||b).

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Tаким образом, мы познакомились с параллельными прямыми, научились их определять и доказали ряд их свойств.