Числа, делящиеся без остатка на 2, называют четными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечетными.

Если мы рассмотрим однозначные числа, то увидим, что 0, 2, 4, 6, 8 – четные, а числа 1, 3, 5, 7, 9 – нечетные. Любое натуральное число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например:

482 = 480 + 2

645= 640 + 5

Поскольку все полные десятки делятся на 2 без остатка, то делимость на 2 будет зависеть от четности цифры, стоящей в разряде единиц натурального числа.

Значит, любое натуральное число четно только тогда, когда в разряде единиц стоит четная цифра, и нечетно, когда в разряде единиц стоит нечетная цифра. Например: 248 – четное число, так как в разряде единиц стоит 8 – четная цифра.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно, то есть, делится без остатка на два, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно.

Например: 4, 18, 36, 58 – четные числа, а 7, 23, 47, 79 – нечетные.

Представим число 10 в виде произведения двух натуральных чисел: 10 = 2 · 5, по свойству делимости произведения (если одно из двух чисел делится на некоторое число, то и их произведение делится на это число) следует, что 10 делится на 5.

Натуральное число, запись которого заканчивается на 0, можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых равен десяти. 10 делится на 5.

Например:

130 = 13 · 10=13 · 2 · 5.

Получаем, что любое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на пять. А как оценить число, запись которого оканчивается другой цифрой? Как уже упоминалось, любое натуральное число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц. Полные десятки делятся на 5, значит и все число делится на 5 без остатка, только тогда, когда на 5 делится число единиц. Т.е., когда в разряде единиц стоит 0 или 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на пять. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на пять.

Например:

10, 25, 105, 170 делятся на 5 без остатка, а числа 12, 103, 178, 246 не делятся на 5.

Любое натуральное число, запись которого оканчивается на 0 , делится на 10 без остатка. Чтобы получить частное, достаточно отбросить эту цифру 0.

160 : 10 = 16 (делится без остатка)

163 : 10 = 16 (неполное частное, остаток 3)

Значит, если последняя цифра в записи натурального числа не равна 0, то число не делится без остатка на 10.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на десять. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на десять.

Например:

10, 250, 1050 делятся на 10 без остатка, а числа 15, 48, 173, 245 делятся на 10 с остатком.

Натуральное число, состоящее более чем из двух цифр, делится на 4 без остатка только тогда, когда две последние цифры в его записи нули или образуют число, делящееся на 4.

Например:

100 : 4 = 25

1200 : 4 = 300

312 : 4 = 78 (12 делится на 4)

724 : 4 = 181 (24 делится на 4)

Натуральное число, состоящее более чем из двух цифр, делится на 25 без остатка только тогда, когда две последние цифры в его записи нули или образуют число, делящееся на 25.

Например:

1500 : 25 = 60

3450 : 25 (50 делится на 25) = 138