Если каждое слагаемое отдельно делится на некоторое число, то их сумма также делится на это число. Но если хотя бы одно слагаемое не делится на некоторое число, то сумма не будет делиться на это число.

Для доказательства данного утверждения возьмем сумму двух слагаемых и обозначим их а1 и а2. Допустим, что а1делится на а и а2делится на а. Тогда данные слагаемые мы можем представить в виде:

Очевидно, что сумма тоже делится на а. Рассмотрим этот признак на примере.

Возьмем сумму двух слагаемых 35 и 40. 35 делится на 5, и 40 делится на 5.

35 : 5= 7, 40 : 5 = 8.

35 + 40 = 75, 75 : 5 = 15. Видим, что сумма чисел 35 и 40 тоже делится на 5.

Теперь рассмотрим сумму чисел 24 и 17.

24 : 2=12

17 : 2 = 8 (1 ост.)

Видим, что 24 делится на 2, а 17 не делится на 2 без остатка. А делится ли сумма этих чисел на 2.

24 + 17 = 41

41 : 2 = 20 (1 ост.)

Мы убедились, что если одно слагаемое делится на число, а другое не делится на это число, то сумма этих слагаемых не будет делиться на данное число.

Заметим, что признак является верным для сколь угодно большого количества слагаемых.

Рассмотрим сумму трех слагаемых. 21+35+56 , все эти слагаемые делятся на 7.

21 : 7 = 3

35 : 7 = 5

56 : 7 = 8

Проверим, делится ли на 7 их сумма.

21 + 35 + 56 = 112

112 : 7 = 16

Сумма этих слагаемых делится на 7.

Если и уменьшаемое, и вычитаемое отдельно делятся на некоторое число, то и разность делится на это число. Но если хотя бы одно или уменьшаемое, или вычитаемое не делится на некоторое число, то разность не делится на это число.

Для доказательства данного утверждения обозначим уменьшаемое и вычитаемое через в1 и в2. Пусть и в1, и в2 делятся на в. Тогда их можно представить в виде:

Рассмотрим данный признак на примере.

Пусть уменьшаемое равно 27, а вычитаемое равно 15. И 27, и 15 делятся на 3 без остатка. 27 : 3 = 9

15 : 3 = 5

Проверим, делится ли на 3 их разность.

27 – 15 = 12

12 : 3 = 4

видим, что и разность этих чисел делится на 3 без остатка.

А что, если только уменьшаемое или только вычитаемое не делится на 3? Пусть уменьшаемое равно 36, а вычитаемое – 16. 36 делится на 3 без остатка, 36:3=12, а 16 не делится на 3 без остатка, 16:3=5 (1 ост.).

Посмотрим на их разность, 36-16=20, 20: 3=6 (2 ост.). Разность этих чисел не делится на 3 без остатка.