Представим, что по тропинке в лесу идет пешеход, через некоторое время его обгоняет велосипедист, скорость которого в три раза превышает скорость пешехода. Ещё через некоторое время навстречу пешеходу приближается спортсмен, бегущий со скоростью вдвое большей, чем скорость пешехода.

Если скорость пешехода обозначить как вектор , то скорость велосипедиста можно обозначить как , а скорость спортсмена, с учётом его противоположного направления движения, вектором

Векторы скорости:

Таким образом, введем понятие умножения вектора на число:

Произведение нулевого вектора на любое число считается равным нулевому вектору.

Произведение вектора на число k обозначается так:

На рисунке изображены векторы:

Рассмотрим следствия из определения умножения вектора на число.

Помимо следствий умножение вектора на число обладает рядом свойств.

Первый рисунок отображает сочетательный закон для чисел k и l, равных 2 и 4 соответственно:

В свою очередь,

На втором рисунке представлен первый распределительный закон для k=2 и l=3:

Второй распределительный закон представлен на третьем рисунке.

Здесь треугольник МАВ подобен треугольнику МА1В1 с коэффициентом подобия k, то есть:

С другой стороны

Примечательно, что рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, которые содержат сумму, разность и произведение вектора на число, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например: