Видеоурок «Определение подобных треугольников»
В разделе Геометрия 9 уроков
Содержание:
§ 1  Понятие «подобия треугольников»

В этом уроке познакомимся с понятием «подобные треугольники», узнаем теорему о площади подобных треугольников, а также рассмотрим задачу на применение теоремы.

В начале урока вспомним, что любой отрезок имеет длину.

Длина выражается положительным числом.

Отношением одного отрезка к другому является частное от деления длины первого отрезка на длину второго, если длины отрезков выражены в единицах одного наименования.

Если отношения двух пар отрезков равны, то говорят, что отрезки пропорциональны.

В окружающем нас мире встречаются не только равные фигуры, но и фигуры, имеющие одинаковую форму, но разные размеры. Например, на уроках географии и истории используют карты, выполненные в различных масштабах. Размер территории нашей страны, изображенный на физической карте России, выглядит больше, чем на карте полушарий. Одинаковую форму, но разные размеры могут иметь также фотографии картин, выполненные с одного и того же негатива. Фигуры, имеющие одинаковую форму, называются подобными фигурами.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Треугольник АВС подобен треугольнику A1B1C1, если ∠А = ∠A1, ∠В = ∠В1, ∠С = ∠С1;

В геометрии существует символ подобия ~, отсюда ∆ABC ~ ∆A1B1C1.

Число к называется коэффициентом подобия, оно равно отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственными называются стороны подобных треугольников, лежащие против равных углов. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 сходственными сторонами являются АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1.

Следует отметить, что в подобных треугольниках другие соответствующие линейные элементы (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) также пропорциональны. Данные величины относятся, как коэффициент подобия.

§ 2  Теорема об отношении площадей подобных треугольников

А теперь докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Дано:

треугольники АВС и А1В1С1 подобны (∆ABC ~ ∆A1B1C1).

Доказать:

Доказательство:

так как ∠А = ∠А1 (по условию теоремы треугольники подобны), то по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, площади треугольников АВС и А1В1С1 относятся как произведения сторон, заключающих данные равные углы, а именно:

Что и требовалось доказать.

Решим следующую задачу.

Даны два подобных треугольника АВС и РКЕ, стороны АВ и РК, ВС и КЕ являются сходственными сторонами. Найти стороны треугольника РКЕ, если АВ = 15 см, ВС = 20 см,

Дано:

∆ABC ~ ∆РКЕ

АВ = 15 см

ВС = 20 см

АС =30 см

Найти:

РК, КЕ, РЕ

Решение:

так как по условию ∆ABC ~ ∆РКЕ, то по определению подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны,

отсюда РК =30 см, КЕ = 40 см, РЕ = 60 см.

Ответ: 30 см, 40 см, 60 см.

В этом уроке Вы узнали, какие треугольники называются подобными, а также как относятся площади подобных треугольников.

Список использованной литературы:
  1. Л.С. Атанасян. Учебник. 8 класс.
  2. Н.Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – Москва: «Вако», 2005.
  3. Л.С. Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва: «Просвещение», 2001.
  4. Д.А. Мальцева Математика. 9 класс. ГИА 2014. – Москва: Народное образование, 2013.
  5. О.В. Белицкая. Геометрия. 8 класс. Тесты. – Саратов: «Лицей», 2009.
  6. С.П. Бабенко, И.С. Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва: «Аркти», 2014.

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!