Видеоурок «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»
В разделе Алгебра 8 уроков
Содержание:
§ 1  Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

В этом уроке рассмотрим алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

Давайте вспомним, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями.

Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем сложить или вычесть полученные дроби с получившимися уже одинаковыми знаменателями.

Чтобы привести заданные дроби к знаменателю 12, определяем дополнительные множители для числителя и знаменателя каждой дроби: для первой это будет 3, а для второй –2.

Полученные дроби с одинаковыми знаменателями складываем, получаем:

Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тому же алгоритму.

Итак, алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями:

1.Привести все дроби к общему знаменателю, если данные дроби имеют разные знаменатели.

2.Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

§ 2  Решение примеров на сложение алгебраических дробей с разными знаменателями

Рассмотрим простой пример сложения алгебраических дробей с разными знаменателями.

Пример 1:

Выполнить действия

Решение:

Получаем:

Во-вторых, следует сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями, для этого составляем соответствующую алгебраическую сумму числителей, а знаменатель оставляем без изменений:

Нередко общим знаменателем дробей служит произведение выражений, стоящих в знаменателях данных дробей.

Рассмотрим такой случай.

Пример 2:

Выполнить действие:

Решение:

Таким образом, получаем 

далее воспользуемся формулой разности квадратов в знаменателе, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе полученной дроби:

§ 3  Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Самое трудное в алгоритме сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями – это найти общий знаменатель.

В первом примере общим знаменателем алгебраических дробей

является произведение

которое состоит из наименьшего общего кратного числовых коэффициентов и повторяющегося в знаменателях обеих дробей буквенного множителя, причем взятого с большим показателем степени.

Во втором примере общим знаменателем дробей

является произведение

(

которое состоит из знаменателей обеих данных дробей.

Итак, алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

1.Разложить все знаменатели дробей на множители.

2.Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях знаменателей на множители.

3.Выбрать все буквенные множители разложений знаменателей на множители, а повторяющиеся буквенные множители взять те, которые имеют больший показатель степени.

4.Составить произведение найденного из п.2 числового коэффициента и буквенных множителей из п.3. – это и будет общий знаменатель данных дробей.

5.Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем знаменателе, но которых нет в соответствующих знаменателях данных дробей.

6.Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.

7.Записать каждую дробь с новым числителем и общим знаменателем.

Применим оба алгоритма при решении следующего примера.

Пример 3:

Упростить выражение

Решение:

Во-первых, следует привести все 3 дроби к общему знаменателю. Для этого следует разложить все знаменатели на множители, а в знаменателе второй дроби вынести множитель (–1) за скобки, чтобы поменять знаки в знаменателе этой дроби на противоположные:

Общий знаменатель должен состоять из множителей, входящих во все знаменатели дробей, причем повторяющееся выражение

включаем с большим показателем степени.

Получим общий знаменатель:

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби и умножим их на соответствующие числители и знаменатели, в итоге получим дроби с общим одинаковым для всех дробей знаменателем:

=

Во-вторых, выполним сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями:

=

Все выполненные преобразования действительны при допустимых значениях переменных а и b. В данном примере допустимыми являются все значения, кроме a = b, a = –b (в этих случаях знаменатели равны нулю).

Таким образом, в этом уроке Вы изучили алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями, кроме этого применяли умения раскладывать многочлены на множители различными способами для нахождения общего знаменателя дробей.

Список использованной литературы:
  1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
  2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006. – 239с.
  3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича, 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 40с.
  4. Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013. - 112с.

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!