Несмотря на довольно большое внешнее отличие, существующее между алгебраическими и обыкновенными дробями, у них много общего, а именно: и обыкновенным, и алгебраическим дробям присущи одинаковое основное свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках этого урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же выражение; также рассмотрим примеры.

Вспомним основное свойство обыкновенной дроби.

Значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, неравное нулю:

Также значение обыкновенной дроби не изменится, если числитель и знаменатель данной дроби разделить на одно и то же, отличное от нуля число (сократить):

Алгебраические дроби являются в некотором смысле обобщением обыкновенных дробей, и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.

Решим следующую задачу:

1) Для дробей:

наименьшим общим кратным будет знаменатель 36c. Числитель и знаменатель дроби первой дроби необходимо умножить на 3, чтобы получить знаменатель 36c, а для второй дроби умножаем числитель и знаменатель на 2. Получаем:

Таким образом, воспользовавшись основным свойством алгебраической дроби, мы выполнили задание.

2) Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю,

необходимо и знаменатель, и числитель второй дроби умножить на –1, получаем:

Не забываем, что m ≠ n. Таким образом, дроби:

имеют одинаковые знаменатели.

3) В данном случае просто умножим знаменатель и числитель первой дроби на знаменатель второй, и наоборот, знаменатель и числитель второй дроби – на знаменатель первой.

Это позволит нам привести дроби к одинаковому знаменателю.

Первая дробь:

В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.

Вторая дробь:

Таким образом, с помощью дополнительных множителей (x – y) и (x + y) заданные дроби приведены к общему знаменателю:

Приводя алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой.

Основное свойство алгебраической дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен (в частности, одночлен или число, неравное нулю); это – тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.

Тождественное преобразование алгебраической дроби путем деления её числителя и знаменателя на один и тот же многочлен (одночлен, число отличное от нуля) называют сокращением алгебраической дроби.

Например, алгебраическую дробь:

при необходимости можно заменить дробью:

числитель и знаменатель данной дроби умножили на x – y.

Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, дробь:

можно сократить на a. Для этого необходимо предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общий множитель.