В этом уроке познакомимся с понятиями «переменная» и «постоянная», научимся решать уравнения способом переноса слагаемых из одной части в другую.

Рассмотрим буквенное выражение 13 + 25х.

Значение данного выражения зависит от того, какое значение будет иметь х. Заметим, что значения х можно изменять, поэтому величины, обозначенные буквами в буквенных выражениях, называют переменными. В отличие от них значения величин, которые не меняются, называются постоянными. В нашем буквенном выражении постоянными величинами будут числа 13 и 25, а переменной является х.

Термины «переменные» и «постоянные» в математике отвечают на вопрос «что?» и являются именами существительными.

Перейдем к уравнениям.

Вспомним, уравнение – это равенство с неизвестным, значение которого надо найти. Неизвестное в уравнении обозначается буквой. Решая уравнение, находят значения, при подстановке которых вместо неизвестного получается верное числовое равенство. Эти значения неизвестного в уравнении называются корнями уравнения. Уравнение может иметь один корень, множество корней и вовсе не иметь такового.

Важно также отметить, что при нахождении корней приходится совершать с частями уравнения различные действия, которые не должны влиять на равенство между ними. Как это сделать? Представим уравнение в виде чашечных весов, находящихся в равновесии. Какой массы предмет положим на одну чашу весов, такой же массы предмет нужно положить на другую чашу, чтобы сохранить равновесие. Так и в уравнении, можно обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, кроме 0, или к каждой части уравнения прибавить одно и то же число, на значение корня уравнения это не повлияет, так как «весы» при этом останутся в равновесии.

Выполним практические задания.

Найдем корень уравнения 6х = 30.

Посмотрим на левую часть уравнения, она представляет собой произведение числа (его называют коэффициентом) и переменной.

Правая часть уравнения – число.

Для того чтобы найти корень данного уравнения, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной

6х : 6 = 30 : 6; 6х :6 = х; 30 : 6 = 5; получим х =5.

Таким образом, можно сделать вывод, что для решения уравнений рассмотренного вида можно обе части уравнения разделить на коэффициент при переменной.

Решим уравнение такого же вида, в котором коэффициентом является обыкновенная дробь:

Чтобы в левой части уравнения избавиться от обыкновенной дроби, сохраняя при этом равенство верным, умножим каждую часть уравнения на одно и то же число, в данном случае на 5:

16 ∙ 5 = 80

х =40

Сделаем вывод: для решения уравнения можно умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, кроме 0. Ноль мы исключили, так как на 0 делить нельзя, а при умножении на 0 получается 0.

Рассмотрим решение еще одного уравнения:

16х - 2 = 6х + 8

Сначала его нужно привести к уже рассмотренному нами виду, т.е. получить равенство, в котором в левой части - произведение коэффициента и переменной, а в правой - число. Для этого в левой части нужно убрать -2, а в правой части -6х, равенство при этом надо сохранить.

Значит, к каждой части прибавим 2 и -6х.

Получим 16х – 2 + 2 +(– 6х) = 6х + 8 +2 + (-6х).

Про слагаемые -2 и + 2 говорят, что они «взаимно уничтожатся», так как – 2 + 2 = 0. Взаимно уничтожатся в правой части по аналогии слагаемые 6х и -6х.

Тогда получится: 16х – 6х= 8+2.

Приведем в каждой части подобные слагаемые: 16х – 6х = 10х; 8+2= 10; получим 10х = 10. Видим, что в левой части уравнения – коэффициент с переменной, а в правой - число, решение уравнений такого вида мы уже рассмотрели.

Разделим каждую часть уравнения на коэффициент при переменной:

10х:10= 10:10;

10х:10 = х;

10:10 = 1; х=1

Обратите внимание, на третью строку записи решения уравнения 16х – 6х= 8+2 и сравните с первой. Фактически мы перенесли слагаемое 6х из правой части уравнения в левую, а слагаемое 2 из – левой части уравнения в правую, поменяв при этом в каждом случае знаки на противоположные.

Напрашивается вывод: при решении уравнений можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя при этом знаки на противоположные. Для запоминания представим ситуацию образно: левая и правая часть уравнения – это две страны, знак равенства – граница между государствами. Чтобы перейти из одной страны в другую нужно на границе поставить в паспорт отметку – поменять знак, при обратном движении тоже самое – поставил отметку (в решении уравнения поменял знак слагаемого), тогда можно перейти в другую страну (в другую часть уравнения).

Итак, чтобы решить уравнение нужно:

1. слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, слагаемые, не содержащие переменную, перенести в правую часть, поменяв при этом в каждом случае переноса знак слагаемого на противоположный;

2. привести подобные слагаемые в обеих частях уравнения;

3. разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной.

Таким образом, в этом уроке Вы познакомились с такими понятиями как «переменная» и «постоянная», а так же научились решать уравнения, применяя способ переноса слагаемых из одной части в другую.