В этом уроке рассмотрим правила раскрытия скобок в буквенных выражениях и научимся их применять.

Начнем с задачи:

Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны а и b.

Решение:

Вспомним, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длины и ширины прямоугольника. В нашем задании длина равна а, ширина равна b. Значит, периметр прямоугольника равен произведению суммы а и b и числа 2, т.е.:

(а + b) ∙ 2

К данному выражению можно применить распределительный закон умножения, который гласит:

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число, а полученные произведения сложить.

(а + b) ∙ с = ас + bc

Таким образом, действуя согласно этому закону, а умножаем на 2 - это 2а , b умножаем на 2 - это 2b. Складываем полученные произведения и имеем (a + b) ∙ 2 = 2а + 2b.

Обратите внимание, с помощью распределительного закона умножения выражение со скобками мы преобразовали в выражение без скобок. В математике говорят «раскрыли скобки».

Распределительный закон применяется для любых чисел.

Воспользуемся им для следующего выражения: произведение, первый множитель которого равен сумме чисел -3 и 9, второй множитель х.

Умножим каждое слагаемое на х: -3 умножить на х, получится -3х, 9 умножить на х, получится 9х. Сложим значения произведений, -3х + 9х. В результате применения распределительного закона получилось выражение без скобок, т.е. мы «раскрыли скобки».

(-3 + 9 ) х = -3х + 9 х

Раскроем скобки в выражении: произведение разности -5 и а и числа -2.

(-5 – а) ∙ (-2 )

Выражение в скобках представим в виде суммы -5 + -а, получим выражение: произведение суммы -5 и -а и числа -2:

(-5 + (-а)) ∙ (-2)

Умножим каждое слагаемое на -2.

Произведение -5 и -2 равно 10.

Произведение -а и -2 равно 2а, получится 10 + 2а.

Рассмотрим другие выражения, в которых нужно раскрыть скобки:

1. сумма разности у и 5 и числа 6.

(y -5) + 6,

2. сумма минус разности х и 8 и числа 4.

- (х – 8) + 4

На первый взгляд кажется, что в данных выражениях множителя перед скобками и после них нет.

На самом деле вспомним а = +а = 1 ∙ а; - а = (-1) ∙ а.

Значит, в рассматриваемые выражения можно подставить множители соответственно 1 и -1. Тогда получим: 1 умножить на сумму y и -5 и к произведению прибавить 6.

1(y + (-5)) + 6.

Умножим каждое слагаемое в скобках на 1, получим y + (-5) + 6, приведем подобные слагаемые: -5 + 6 = 1; результат y + 1.

Во втором выражении перед скобкой стоит знак минус, значит, выражение в скобках умножаем на минус 1. -1 умножить на сумму х и -8 и прибавить к произведению 4.

-1(х + (-8)) +4

Умножим -1 на каждое слагаемое в скобках : -1 умножить на х, получится –х, -1 умножить на -8, получится 8, в результате получим выражение –х + 8 + 4, приведем здесь подобные слагаемые и получим –х + 12.

Анализируя полученное, можно сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобкой стоит знак плюс, то слагаемые в скобках умножаем на 1, то есть, раскрывая скобки, надо слагаемые оставить без изменения;

Если перед скобкой стоит знак минус, то слагаемые в скобках умножаем на минус 1,то есть, при раскрытии скобок, изменяем знаки слагаемых на противоположные.

Если перед скобкой отсутствует знак, то считаем, что подразумевается знак плюс, и действуем по соответствующему правилу. 

Количество слагаемых в скобках может быть любым.

Таким образом, Вы научились раскрывать скобки с помощью распределительного закона умножения и узнали, что при отсутствии множителя перед скобкой, необходимо при раскрытии скобок действовать по правилам. Если перед скобкой стоит знак плюс, то знаки слагаемых в скобках не меняются, а если перед скобкой стоит знак минус, то знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.