В этом уроке познакомимся с формулой площади круга и научимся применять ее.

Одной из древнейших практических задач является определение площадей геометрических фигур.

Площадь фигуры – это величина части плоскости, ограниченной многоугольником или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигурой.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью, фигура замкнутая, значит, можно говорить о площади круга.

Вспомним свойства площади фигур.

Первое свойство: равные фигуры имеют равную площадь.

Второе свойство: если фигура разбивается на части, то площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Выведем формулу площади круга. Рассмотрим рисунок.

На рисунке изображены окружности, проходящие через вершины правильных многоугольников.

Площади многоугольников очень незначительно отличаются от площади соответствующего круга.

Если увеличивать количество сторон многоугольника, то он практически сольется с окружностью.

Используем этот факт для получения формулы.

Пусть n – число сторон правильного многоугольника. Так как у него n равных сторон, то данный многоугольник можно разделить на n – равных треугольников с общей вершиной, которая является центром круга.

Площадь одного треугольника равна половине произведения стороны а и проведенной к ней высоты h.

Поскольку многоугольник разделен на n равных треугольников, следовательно, площадь многоугольника равна сумме площадей n равных треугольников.

Подставим формулу площади треугольника в данную формулу и получим: площадь многоугольника равна половине произведения стороны, высоты, проведенной к данной стороне треугольника и количества сторон многоугольника.

При увеличении количества сторон правильного многоугольника n произведение стороны a и количества сторон n – это практически длина окружности. А высота h - практически радиус окружности.

Вспомним формулу длины окружности:

C = 2πR, где R – радиус, и подставим вместо h (высоты) R (радиус).

Получим, что площадь равна половине удвоенного произведения πR и R.

Упростим выражение:

Значит, площадь равна произведению π R2.

Таким образом, мы получили формулу нахождения площади круга, так как уже говорилось, что если увеличивать количество сторон правильного многоугольника n, то он практически сольется с окружностью.

В математике говорят, что площадь многоугольника в рассмотренном случае стремится к площади круга, т.е. почти равна площади круга.

Перейдем к практической части.

На цирковой арене цирка «Шапито» нужно заменить половое покрытие. Чтобы закупить необходимое количество материла, необходимо знать площадь арены. Диаметр арены – 13м. Найдите ее площадь.

Выпишем необходимые данные.

Нужно найти площадь круга.

Если диаметр равен 13 м, то радиус 13:2 = 6,5 м.

Подставим данные в формулу: S = 3,14 ∙ 6,52.

Такую площадь имеет арена цирка.

Таким образом, в этом уроке мы вывели формулу площади круга и научились ее применять.