В этом уроке мы познакомимся с иррациональными уравнениями, дадим соответствующее определение и рассмотрим основной метод решения иррациональных уравнений.

Если в уравнении переменная находится под знаком квадратного корня, то такое уравнение называют иррациональным. Например, иррациональными будут уравнения:

Основным методом решения таких уравнений является метод возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Рассмотрим решение иррационального уравнения:

Возведем обе его части в квадрат:

и получим рациональное уравнение 2х

Основным методом решения таких уравнений является метод возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Рассмотрим решение иррационального уравнения:

Возведем обе его части в квадрат:

и получим рациональное уравнение 2х5 = 4х – 7. Так как в уравнении х – в первой степени, то уравнение является линейным. Значит, для его решения слагаемые с х перенесем налево, а числовые слагаемые – направо. При переносе слагаемых меняем их знаки на противоположные, получим 2х4х = –7 + 5. После приведения подобных слагаемых имеем: 2х = 2 и х = 1. Так как не при всех значениях подкоренные выражения 2х – 5 и 4х – 7 принимают положительные значения и нуль, то необходимо сделать проверку. Проверка. Подставим найденное значение х = 1 в уравнение:

Это равенство неверное. Квадратный корень из отрицательного числа не существует. Значит, х = 1 – это лишь корень уравнения 2х – 5 = 4х7. А для исходного уравнения:

– это посторонний корень. Ответ: нет решения.

Решим уравнение:

Возведем обе части в квадрат:

и получим линейное уравнение 2х + 1 = 9. Далее 2х = 9 – 1 или 2х = 8 или х = 4. Необходима проверка. Подставим х = 4 в уравнение:

Тогда получим:

Это равенство верно. Значит, х = 4 является корнем уравнения:

Ответ: х = 4.

Рассмотренные уравнения после возведения в квадрат обеих частей уравнения сводились к линейным уравнениям.

Рассмотрим примеры, когда, используя метод возведения в квадрат, уравнение сводится к квадратному уравнению.

Решим уравнение:

Возведем обе части в квадрат, получим рациональное уравнение:

Так как переменная входит в уравнение во второй степени, то уравнение является квадратным. Решим квадратное уравнение х2 + х – 12 = 0. Это полное квадратное уравнение, поэтому его можно решить как по формулам, так и по теореме Виета. Воспользуемся теоремой Виета. По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. В нашем случае:

х1 + х2 = –1, а х1 ∙ х2= –12.

Нетрудно догадаться, что х1 = 4; х2 = 3. Сделаем проверку. Будут ли числа – 4 и 3 корнями исходного уравнения:

Это равенство неверное, значит, число –4 – посторонний корень:

Докажем появление посторонних корней. Рассмотрим иррациональное уравнение:

f(x) = g(x)

Возведем обе части в квадрат f2(x) = g2(x). Перенесем справа налево

f2(x) – g2(x) = 0. Разложим на множители по формуле разность квадратов

(f(x) – g(x))∙(f(x) + g(x)) = 0. Решим это уравнение (f(x) – g(x)) = 0 или (f(x) + g(x))=0. Решая первое, получим f(x) = g(x). Решая второе, получим f(x)= – g(x). Первое уравнение является исходным f(x) = g(x). А уравнение f(x) = – g(x) дает посторонние корни. Можно сделать вывод, главная особенность метода возведения в квадрат – это появление посторонних корней.

Рассмотрим решение иррационального уравнения, которое сводится к квадратному уравнению:

Обе части уравнения возведем в квадрат:

и получим рациональное уравнение:

Переменная х – во второй степени, поэтому уравнение является квадратным. Перенесем все слагаемые справа налево и получим уравнение:

Это полное квадратное уравнение. Решим его по формулам. Найдем дискриминант D по формуле:

Найдем корни:

Это корни квадратного уравнения:

Проверим, будут ли они корнями исходного иррационального уравнения:

Проверка. Если х = –19, то достаточно по подстановке в правую часть уравнения убедиться, что число –19 – посторонний корень. Так как справа после подстановки получим отрицательное число –19 – 6 = –25. А по определению арифметический квадратный корень – это неотрицательное число. Если х = 2, то снова правая часть уравнения – отрицательное число 2 – 6 = –4. Следовательно, х = 2 – это также посторонний корень. Ответ: нет корней.

Решим уравнение:

Это уравнение иррациональное. Можно его заменить равносильным уравнением:

и решить методом возведения в квадрат обеих его частей. Но к этому уравнению можно применить другой метод. Решить его введением новой переменной. Пусть:

тогда исходное уравнение примет вид:

Решим это квадратное уравнение.

Найдем корни:

Вернемся к замене:

Уравнение первое не имеет корней, т.к. арифметический квадратный корень – это неотрицательное число. Корнем уравнения второго будет х = 1. Ответ: х = 1.

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная находится под знаком квадратного корня.

Иррациональное уравнение решают методом возведения обеих частей уравнения в квадрат. После возведения в квадрат может получиться как линейное, так и квадратное уравнение. 

Чтобы решить линейное уравнение, надо слагаемые с переменной перенести налево, а числовые слагаемые – направо. Причем при переносе слагаемых меняем их знаки на противоположные. Иными словами, уравнение заменяем равносильным данному уравнению. 

Если после возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения получилось уравнение с переменной во второй степени, то это уравнение квадратное. Приводим его к виду аx2 + bx + c = 0 и решаем или по формулам, или по теореме Виета.

Найденные корни будут корнями линейного или квадратного уравнения, но не во всех случаях будут являться корнями иррационального уравнения. Поэтому необходимо обязательно сделать проверку. Найденные корни подставить в исходное иррациональное уравнение и отсеять посторонние корни.

Помимо иррациональных уравнений, которые решаются методом возведения в квадрат, есть такие иррациональные уравнения, которые можно решить введением новой переменной.