Разберем следующую ситуацию. Вы дома вместе с родителями решили сделать ремонт: оклеить стены, перестелить пол. Какую помощь вы можете оказать до покупки нужных материалов? Верно, в первую очередь нужно вычислить общую площадь стен и пола в комнате. Затем высчитать количество рулонов обоев для оклейки стен и только после всех подсчетов ехать в магазин.

Площадь многоугольника– это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Для измерения площадей используют единицы измерения. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Так, единица измерения площади - квадратный сантиметр – это квадрат со стороной равной 1 сантиметру, квадратный метр – это квадрат со стороной 1 метр. Также единицами измерения площади являются квадратный миллиметр, квадратный дециметр. Употребляются и такие единицы площади, как 1 гектар, 1 ар. 1 гектар – это площадь квадрата со стороной 100 м, 1 ар – квадрата со стороной 10 м. 1 ар часто называю соткой. Говорят: «дачный участок имеет 6 соток».

Площадь любого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Выделим основные свойстваплощадей многоугольников:

1.Равные многоугольники имеют равные площади.

2.Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Помимо основных свойств площадей можно выделить еще одно свойство -

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Если сторону квадрата обозначить через а, то формула запишется S = а2.

Рассмотрим теорему о вычислении площади прямоугольника.

Теорема:Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Докажем это утверждение. 

Дано: прямоугольник со сторонами а и в и площадью S. 

Нужно доказать, что S = ав. 

Доказательство: достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + в, тогда по третьему свойству площадь этого квадрата будет равна (а + в)2 .

С другой стороны построенный квадрат состоит из двух прямоугольников со сторонами а и в и площадью S, и двух квадратов c площадями а2 и в2. По второму свойству площадь квадрата равна сумме площадей этих фигур: двух прямоугольников и двух квадратов, а именно: 

(а + в)2 = S + S + а2 + в2, или

а2 + 2ав + в2 =2S + а2 + в2, отсюда получаем 

S = ав. 

Теорема доказана.

Решим задачу.

Задача: Как изменится площадь прямоугольника, если одну пару противоположных сторон увеличить в три раза, а другую уменьшить в три раза?

Решение:Пусть дан прямоугольник со сторонами а и в и площадью S1 = ав. После изменения сторон прямоугольник будет иметь одну пару противоположных сторон 3а, а другую 1/3в. Вычислим площадь S2 этого прямоугольника, для этого умножим 3а на 1/3в, имеем:

S2 = 3а · 1/3в = ав = S1. 

Ответ: площадь прямоугольника не изменится.