В геометрии рассматривают множество различных видов треугольников, однако прямоугольные треугольники занимают определенное место в геометрии. Под прямым углом расположены стены, пол, дома относительно земли и многое другое. Прямой угол является неотъемлемой частью нашего пространства. Возвращаясь к прямоугольному треугольнику, напомню, что стороны, расположенные под углом в 90 градусов, называются катетами, а сторона, расположенная напротив прямого угла, гипотенузой.

Для прямоугольных треугольников, как для любых треугольников, применима теорема о сумме углов в треугольнике, однако известно, что в прямоугольных треугольниках один угол 90 градусов, отсюда вытекает первое свойство прямоугольных треугольников: сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

Второе свойство прямоугольных треугольников гласит: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Докажем это утверждение. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Пусть угол А будет 30 градусов, тогда по первому свойству прямоугольного треугольника угол В равен 60 градусов. Докажем, что СВ равна половине стороны АВ. Для этого приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АСК так, что сторона АС будет общей. Рассмотрим получившийся треугольник АВК. Угол КАВ равен сумме двух углов по 30 градусов, то есть равен 60 градусов, значит, угол КАВ равен углу В, который равен углу АКВ по построению, следовательно, сторона ВК равна стороне АВ. Но сторона ВК состоит из двух равных сторон СК и СВ, значит, сторона СВ равна половине стороны ВК, следовательно, СВ равна половине стороны АВ, что и требовалось доказать.

Существует третье свойство прямоугольных треугольников, обратное второму свойству: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам.

Третье свойство доказывается аналогичным способом. Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С прямой и катет ВС равен половине гипотенузы АВ. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АКС так, чтобы сторона АС была общей.

В полученном треугольнике АВК сторона ВК равна сумме равных сторон СК и СВ, но СВ равна половине АВ, а СК равна половине АК, равной АВ, так как треугольники АВС и АСК равны, значит, сторона ВК равна половине стороны АВ, умноженной на два, то есть ВК = АВ. В свою очередь по построению АВ=АК, значит, в треугольнике АВК все стороны равны, а в равностороннем треугольнике все углы по 60 градусов. Рассмотрим угол КАВ, он состоит из двух равных углов КАС и САВ, следовательно, угол САВ равен половине 60 градусов, то есть 30 градусам. Таким образом, получаем, что угол, лежащий против катета равного половине гипотенузы, равен 30 градусам, что и требовалось доказать.

Изучив свойства прямоугольных треугольников, перейдем к признакам их равенства.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует, что если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее из второго признака равенства треугольников следует: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для прямоугольных треугольников существует ещё два признака равенства.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Данная утверждение доказывается при помощи первого свойства прямоугольных треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, в которых углы С и С1 прямые, гипотенуза АВ равна гипотенузе А1В1 и угол А равен углу А1. Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то ∠ В = 90° – ∠ А , ∠ В1= 90° – ∠ А1. А так как ∠ А = ∠ А1, то ∠ В = ∠ В1 . А значит, треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1 по второму признаку равенства треугольников – по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Другой признак равенства прямоугольных треугольников гласит: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Докажем это утверждение. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, углы С и С1 – прямые, АВ = А1В1 и ВС = В1С1.

Так как угол С равен углу С1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершины С и С1 совпадут, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1В1. Так как СВ = С1В1, то вершина В совместится с вершиной В1, но тогда вершины А и А1 также совместятся. Предположим, что вершина А совместится с какой-либо другой точкой А2 луча С1А1, тогда получим равнобедренный треугольник А1В1А2, в котором углы при основании А1А2 не равны, но это не возможно, поэтому вершины А и А1 совместятся. Следовательно, получим полное совмещение треугольников АВС и А1В1С1, что означает их равенство.

Итак, подведем итоги. 

В прямоугольном треугольнике: 

- сумма двух острых углов равна 90 градусов; 

- катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы;

- если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам.

Два прямоугольных треугольника равны: 

- если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого; 

- если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого;

- если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого; 

- если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.