Построение геометрической фигуры - одна из интересных задач в геометрии. Получить необходимую фигуру только при помощи циркуля и линейки без делений не просто.

Фигура треугольник часто используется в решении задач, но как его правильно построить?

Пусть необходимо построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Во-первых, что такое две стороны – это два произвольных отрезка, например, P1Q1 и P2Q2, а также произвольный угол альфа. Все эти элементы уже построены, другими словами, эти элементы – дано задачи.

Во-вторых, необходимо определить последовательность построения: сначала необходимо построить одну сторону треугольника, затем угол и потом вторую сторону треугольника.

Итак, перед нами белый лист, проведем прямую а и отметим на ней точку А, затем возьмем циркуль и отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Далее выберем произвольный раствор циркуля и проведем одну окружность с центром в вершине угла альфа и другую с центром в точке А. Первая окружность пересечет лучи угла альфа в точках Р и К, а вторая окружность пересечет прямую а в точке М. Проведем отрезок РК. Затем возьмем раствор циркуля, равный отрезку РК, и построим окружность с центром в точке М. Окружность с центром в точке М пересечет окружность с центром в точке А, пусть эта точка будет М1. Проведем луч АМ1. Затем на луче АМ1 отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2. Соединим точки В и С отрезком. Полученный треугольник АВС – искомый.

Теперь докажем, что полученный треугольник АВС искомый. На самом деле отрезок АВ равен отрезку P1Q1 и отрезок АС равен отрезку P2Q2 по построению. Угол альфа также по построению равен углу САВ. При данном ходе построения для любых данных отрезков P1Q1 и P2Q2 и неразвернутом угле альфа искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по первому признаку равенства треугольников, поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Теперь рассмотрим задачу построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Итак, нам дан отрезок PQ и два угла альфа и бета. Проведем прямую а и отметим на ней произвольную точку А. Отложим от точки А отрезок АВ, равный отрезку PQ. Затем построим угол М1АВ с вершиной в точке А, равный углу альфа, и угол М2ВА с вершиной в точке В, равный углу бета. Точка пересечения лучей АМ1 и ВМ2 будет точка С. Треугольник АВС искомый.

Докажем это: отрезок АВ равен отрезку PQ по построению, также по построению угол САВ равен углу альфа, а угол СВА равен углу бета.

Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому при данном ходе построения искомый треугольник АВС возможно построить только, если сумма углов альфа и бета будет меньше 180 градусов. Если же сумма данных углов будет больше или равна 180 градусом, треугольник построить невозможно.

В этой задаче, как и в предыдущей, прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, а значит, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по второму признаку равенства треугольников, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

Построить треугольник по трем сторонам является третьей задачей построения треугольника.

Пусть нам даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3. необходимо построить треугольник АВС, в котором АВ равно P1Q1, ВС равно P2Q2 и СА равно P3Q3.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Затем построим две окружности: одну – с центром в точке А и радиусом P3Q3, а другую – с центром в точке В и радиусом P2Q2. Пусть точка С – одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС. В самом деле, по построению АВ равно P1Q1, BC равно P2Q2 и СА равно P3Q3, то есть стороны треугольника равны данным отрезкам.

Рассмотренная задача не всегда имеет решение в силу действия неравенства треугольника, то есть в любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.