В этом уроке рассмотрим задачи на построение: построить угол, равный данному; построить биссектрису угла; построить перпендикулярные прямые; построить середину отрезка.
С геометрическими построениями приходится иметь дело многим специалистам. Например, всевозможные построения выполняют архитекторы, конструкторы, штурманы. Даже слесарь, закройщик, столяр нередко выполняют построения: слесарь – на жести, закройщик – на ткани, столяр – на доске.
Как правило, в задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую тем или иным условиям. Если не указано, с помощью каких инструментов нужно выполнить построение, значит, имеют в виду только линейку без делений и циркуль.
Задача 1. Отложить от данного луча угол, равный данному.
Дано: угол А и луч ОN.
Построить: угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОN.
Построение:
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла.
Обозначим точки пересечения окружности со сторонами угла – В и С.
Проведем окружность того же радиуса с центром в начале луча ОN. Эта окружность пересечет луч ОN в точке D.
Теперь построим окружность с центром в точке D и радиусом, равным ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках F и H.
Угол NOF – искомый.
Для доказательства, что угол искомый, достаточно заметить, что треугольники АСВ и ОFD равны по трем сторонам: АС = ОF, АВ = ОD, т.к. это радиусы большой окружности, ВС = DF, т.к. это радиусы малой окружности. В равных треугольниках углы равны, значит, угол ВАС равен углу NOF. Т.е. построенный угол равен данному.
Задача 2. Построить биссектрису данного угла.
Дано: угол А.
Построить: биссектрису угла А.
Решение:
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла.
Она пересечет стороны угла в точках С и В.
Построим еще две окружности одинакового радиуса, равного ВС, с центрами в точках В и С.
Окружности пересекутся в двух точках, одна из которых лежит внутри угла.
Обозначим ее точкой D.
Построим луч АD, он является биссектрисой угла А.
Это следует из равенства треугольников АВD и АСD, они равны по трем сторонам:
АD – общая, АС = АВ как радиусы одной и той же окружности, а СD= ВD как радиусы двух окружностей одинакового радиуса.
Из равенства треугольников следует, что угол ВАD равен углу САD, значит, луч АD – биссектриса данного угла А.
Заметим, что любой угол можно разделить на четыре равных угла.
Для этого надо разделить этот угол пополам и затем каждую половину разделить еще раз пополам. А вот разделить угол на три равных угла невозможно.
Эту нерешаемую задачу назвали задачей о трисекции угла.
Задача 3.
Дано: прямая и точка на ней.
Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Решение:
Пусть дана прямая а и точка О, принадлежащая этой прямой.
Построим окружность с центром в точке О произвольного радиуса.
Эта окружность пересечет прямую а в двух точках А и В.
Затем построим окружности с центрами в точках А и В радиуса, равного АВ. Эти окружности пересекутся в точках С и D.
Искомая прямая проходит через точки О и С.
Прямая ОС перпендикулярна прямой а.
Это легко доказать, рассмотрев равнобедренный треугольник АВС.
ОС является и медианой, и высотой.
Задача 4.
Построить середину данного отрезка.
Решение:
Пусть АВ – данный отрезок.
Построим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ.
Эти окружности пересекутся в двух точках С и D.
АВПроведем прямую СD. Она пересечет отрезок АВ в точке О.
Точка О – искомая точка, она разделила отрезок АВ пополам.
Это легко можно доказать, рассмотрев треугольники АСD и ВСD.
Они равны по трем сторонам, поэтому угол АСО = углу ВСО.
Следовательно, СО – биссектриса равнобедренного треугольника АСВ, а значит, СО – медиана.
Итак, в этом уроке мы рассмотрели четыре задачи на построение.
Подпишись и будь
в курсе новых событий и новостей!