В этом уроке мы научимся умножать одночлены, а также познакомимся с правилами возведения одночленов в натуральную степень.

Начнём с примера. Выполнить умножение одночлена 2аb4 на одночлен –3а2b. Посмотрите, как выглядит это задание, записанное на математическом языке:

2аb4 ∙ ( –3а2b)

На самом деле перед нами записан новый одночлен – одночлен нестандартного вида. И нам остается только привести его к стандартному виду. Вспомним:

Одночлен стандартного вида – это одночлен, состоящий из произведения только одного числового множителя, стоящего на первом месте, и буквенных множителей, каждый из которых встречается только один раз.

В нашем примере нам надо будет перемножить числовые множители 2 и –3, затем выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями а и b. Получим:

2аb4∙ (–3а2b) = 2 ∙ (–3) ∙ а ∙ а2 ∙ b4 ∙ b = –6а3b5

Как видите, выполнение умножения одночленов не требует каких-либо дополнительных правил. Можно выполнять и обратную операцию, т.е. представлять одночлен в виде произведения двух или нескольких одночленов. Например, представить одночлен 12а3b6 в виде произведения двух одночленов. Данная задача может иметь несколько вариантов решения:

12а3b6 = (2аb) ∙ (6а2b5) или 12а3b6 = (4а2b3) ∙ (3аb3) или 12а3b6 = (–а3вb4) ∙ (–12b2) и т.д.

Теперь перейдём к возведению одночлена в натуральную степень. И опять начнём с примера. Возвести в квадрат одночлен 4х3у5. Запишем эту ситуацию на математическом языке, получим запись:

(4х3у5)2

Видим возведение в степень произведения, а такое правило нам уже знакомо. 

Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень каждый множитель. Кроме того, чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить прежним, а показатели перемножить.

Получим:

(4х3у5)2 = 42 ∙ (х3)2 ∙ (у5)2 = 16 х6у10

Здесь также можно выполнять обратные действия, т.е. представлять одночлен в виде степени какого-либо другого одночлена.

Пример 1. Представить одночлен 27а3b6 в виде куба другого одночлена.

Заметим, что 27 = 33; а3 есть куб числа а; b6 можно представить как (b2)3.

27а3b6 = (3аb2)3

Пример 2. Представить одночлен 27а3b6 в виде квадрата какого-либо одночлена.ъ

Заметим, что множитель b6 можно представить в виде (b3)2. А вот число 27 не является квадратом какого-либо числа, да и множитель а3 нельзя представить в виде квадрата какой-либо натуральной степени. Всё это говорит о том, что перед нами задача, не имеющая решений. В таких случаях математики употребляют термин некорректная задача. К некорректным относятся различные виды заведомо невыполнимых задач. Например, некорректным является задание сложить одночлены 2а и 3b, т.к. это неподобные одночлены, их складывать нельзя. Или такое задание:

12,6 : (3 – 3)

На 0 делить нельзя, поэтому данное задание некорректно.