Когда речь идёт об умножении многочленов, то мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлена на одночлен и умножение многочлена на многочлен. На этом занятии мы узнаем, как умножить многочлен на одночлен.

Основным правилом, которое используют при умножении многочлена на одночлен, является распределительное свойство умножения. Вспомним:

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквенной записи распределительное свойство умножения выглядит так:

(а + b) ∙ с = ас + bc

(а - b) ∙ с = ас - bc

Рассмотрим пример: многочлен (5аb – 3а2) умножить на одночлен 2b.

Введём новые переменные и обозначим 5аb – буквой х, 3а2 – буквой у, 2b – буквой с. Тогда наш пример примет вид:

(5аb – 3а2) ∙ 2b = (х – у) ∙с

Согласно распределительному закону это равно хс – ус. Теперь вернёмся к первоначальному значению новых переменных. Получим:

5аb∙2b – 3а2∙2b

Теперь приведём получившийся многочлен к стандартному виду. Получим выражение:

10аb2 – 6а2b

Таким образом, можно сформулировать правило:

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен.