Давайте познакомимся с понятием «система уравнений» и разберёмся, что будет являться решением системы и сколько таких решений может быть.

Для начала вспомним, что линейные уравнения с двумя переменными– это уравнения вида ах + ву + с = 0. Решением такого уравнения будет являться пара чисел (х; у), которая обратит это уравнение в верное числовое равенство. И таких решений будет бесконечно много. Если все решения изобразить на координатной плоскости, то мы получим прямую, которую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными.

А теперь представим себе ситуацию. Я задумала два числа. Известно, что их сумма равна 8, а разность 2. Какие числа я задумала? Если записать эту ситуацию в виде алгебраической модели, то первое условие «сумма чисел равна 8» запишется в виде уравнения х + у = 8. Второе условие «разность равна 2» запишется как х – у = 2. Мы получили два линейных уравнения с двумя неизвестными. Каждое из этих уравнений в отдельности имеет бесконечное число решений. Но нам надо подобрать такую пару чисел, которая являлась бы решением обоих уравнений одновременно. В таких случаях математики договорились записывать эти уравнения особым способом. Их записывают одно под другим и 

Это и есть система уравнений. Читают такую запись следующим образом: «система уравнений х+у=8 и х–у=2».

Решить систему– это значит найти все её решения или установить, что их нет. 

Решением системыуравнений будет являться такая пара чисел (х; у), которая обратит в верное числовое равенство каждое из уравнений системы.

И тут возникает вопрос: а сколько таких пар нам надо найти? Давайте разбираться. И поможет нам в этом графический способ. Мы знаем, что множество решений каждого из линейных уравнений с двумя переменными можно изобразить на координатной плоскости в виде прямой. А из курса геометрии мы знаем, что прямые на плоскости могут быть параллельными, т.е. не иметь общих точек, или пересекаться, т.е. иметь только одну общую точку. Значит, и наша система может либо не иметь решений вообще, либо иметь только одно решение. Правда, есть ещё один возможный случай расположения прямых – это их полное совпадение. Тогда система будет иметь бесконечное количество решений, что при решении реальных задач практически не встречается.

Давайте решим полученную нами систему графически. Построим график первого уравнения х + у = 8. Выразим переменную у через х и получим выражение у = 8 – х. Для построения прямой достаточно двух точек. Если х = 0, то у = 8. Если х = 3, то у = 5. Получили точки с координатами (0; 8) и (3; 5). Построим прямую, используя найденные точки. Аналогично поступим со вторым уравнением. Представим его в виде у = х – 2. Если х = 0, то у = –2. Если х = 6, то у = 4. Получили точки с координатами (0; –2) и (6; 4). Через них тоже проведём прямую. Теперь на рисунке видим, что наши прямые пересекаются в точке с координатами (5; 3). Найденные значения необходимо проверить. Подставим в оба уравнения системы вместо х число 5, а вместо у - 

Получили два верных числовых равенства, значит, решение найдено правильно. Я задумала числа 5 и 3.

Возникает вопрос: всегда ли необходима проверка? Здесь надо отметить, прежде всего, ненадёжность графического способа решения. Ведь не всегда прямые пересекаются в таких удачных точках с целыми координатами. И тогда при определении точки пересечения прямых по чертежу можно потерять сотые и даже десятые доли числа. Да и сама точка пересечения далеко не всегда попадает на наш тетрадный лист. Поэтому решения, найденные графическим способом, необходимо всё-таки проверять. И здесь вы спросите: а есть ли методы решения систем, позволяющие сразу, без рисунков, найти точные решения? Конечно, есть, но это тема отдельного урока.