Решить систему уравнений с двумя неизвестными можно различными способами – графическим методом или методом замены переменной.
В этом уроке познакомимся с ещё одним способом решения систем, который Вам наверняка понравится – это способ алгебраического сложения.
А откуда вообще взялась идея – что-то складывать в системах? При решении систем главной проблемой является наличие двух переменных, ведь решать уравнения с двумя переменными мы не умеем. Значит, надо каким-либо законным способом исключить одну из них. И такими законными способами являются математические правила и свойства.
Одно из таких свойств звучит так: сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, если при одной из переменных будут противоположные коэффициенты, то их сумма будет равна нулю и нам удастся исключить эту переменную из уравнения. Понятно, что складывать только слагаемые с нужной нам переменной мы не имеем право. Складывать надо уравнения целиком, т.е. по отдельности складывают подобные слагаемые в левой части, затем в правой. В результате мы получим новое уравнение, содержащее только одну переменную. Давайте рассмотрим сказанное на конкретных примерах.
Пример 1.
Решить методом алгебраического сложения систему уравнений
Мы видим, что в первом уравнении есть переменная у, а во втором противоположное число –у. Значит, это уравнение можно решить методом сложения.
Одно из уравнений оставляют в том виде, каком оно есть. Любое, какое Вам больше нравится.
А вот второе уравнение будет получено сложением этих двух уравнений почленно. Т.е. 3х сложим с 2х, у сложим с –у, 8 сложим с 7.
Получим систему уравнений
Второе уравнение этой системы представляет собой простое уравнение с одной переменной. Из него находим х = 3. Подставив найденное значение в первое уравнение, находим у = –1.
Ответ: (3; - 1).
Образец оформления:
Пример 2.
Решить методом алгебраического сложения систему уравнений
В данной системе нет переменных с противоположными коэффициентами. Но мы знаем, что обе части уравнения можно умножать на одно и то же число. Давайте умножим первое уравнение системы на 2.
Тогда первое уравнение примет вид:
Теперь видим, что при переменной х есть противоположные коэффициенты. Значит, поступим так же, как и в первом примере: одно из уравнений оставим в неизменном виде. Например, 2у + 2х = 10. А второе получим сложением.
Теперь у нас система уравнений:
Легко находим из второго уравнения у = 1, а затем из первого уравнения х = 4.
Образец оформления:
Давайте подведём итоги:
Мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом алгебраического сложения. Таким образом, нам теперь известны три основных метода решения таких систем: графический, метод замены переменной и метод сложения. Практически любую систему можно решить с помощью этих способов. В более сложных случаях применяют комбинацию этих приёмов.
Подпишись и будь
в курсе новых событий и новостей!