Познакомимся с основными свойствами числовых неравенств, а также рассмотрим универсальный способ сравнения чисел.

Результат сравнения чисел можно записать с помощью равенства или неравенства. Неравенство может быть строгим и нестрогим. Например, а>3 – это строгое неравенство; а≥3 – это нестрогое неравенство. Способ сравнения чисел зависит от вида сравниваемых чисел. Например, если надо сравнить десятичные дроби, то мы сравниваем их поразрядно; если необходимо сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, то надо привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Но существует универсальный способ сравнения чисел. Он состоит в следующем: находят разность чисел a и b; если a – b > 0, то есть положительное число, то a > b; если a – b < 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a – b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:

2b2 – 6b + 1 > 2b(b– 3)

Воспользуемся универсальным способом сравнения. Найдем разность выражений 2b2 – 6b + 1и 2b(b – 3); 

2b2 – 6b + 1– 2b(b–3)= 2b2 – 6b + 1 – 2b2 + 6b; приведем подобные слагаемые и получим 1. Так как 1 больше нуля, положительное число, то 2b2 – 6b+1 > 2b(b–3).

Свойство 1. Если a> b, b > c, то a> c.

Доказательство. Если a > b, то значит, разность a – b > 0, то есть положительное число. Если b >c, значит, разность b – c > 0, положительное число. Сложим положительные числа a – b и b – c, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a – b) +(b – c) = a- b +b – c= a – c. Так как сумма положительных чисел – число положительное, значит, a – c положительное число. Следовательно, a > c, что и требовалось доказать.

Свойство 2. Если a < b, c– любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».

Доказательство. Найдем разность выражений a + с и b+ с, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a + с) – (b+ с) = a + с – b – с = a – b. По условию a < b, тогда разность a – b– отрицательное число. Значит, и разность (a + с) –(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.

Свойство 3. Если a < b, c - положительное число, то aс < bс.

Если a < b, c– отрицательное число, то aс > bс.

Доказательство. Найдем разность выражений aс и bс, вынесем за скобки с, тогда имеем aс-bс = с(a-b). Но так как a<b, то разность a-b – отрицательное число. 

Если отрицательное число a-b умножим на положительное число с, то произведение с(a-b) отрицательно, следовательно, разность aс-bс отрицательна, а значит, aс<bс. 

Если же отрицательное число a-b умножить на отрицательное число с, то произведение с(a-b) будет положительно, следовательно, и разность aс-bс будет положительна, значит, aс>bс. Что и требовалось доказать.

Например, a<b. Умножим обе части неравенства на -7. Поменяв знак неравенства на противоположный знак, получим верное неравенство -7a>-7b.

Так как деление можно заменить умножением на число обратное, = n∙, то доказанное свойство можно применить и для деления. Таким образом, смысл этого свойства в следующем: «Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Обе части неравенства можно умножить или разделить на отрицательное число, при этом необходимо поменять знак неравенства на противоположный знак».

Рассмотрим следствие к свойству 3. 

Следствие. Если a<b, a и b – положительные числа, то

Доказательство. Разделим обе части неравенства a<b на положительное число ab,

сократим дроби и получим

< или  > 

Утверждение доказано. 

Действительно, например, 2 < 3, но

>

Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b+ d.

Доказательство. Так как a>b и c >d, то разности a-b и c-d - положительные числа. Тогда сумма этих чисел также положительное число (a-b)+( c-d). Раскроем скобки и сгруппируем (a-b)+( c-d) = a-b+ c-d= (a+с)-( b+ d). В виду этого равенства полученное выражение (a+с)-( b+ d) будет положительным числом. Следовательно, a+ c> b+ d.

Неравенства вида a>b, c >d или a < b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b , c<d - неравенствами противоположного смысла. Доказанное свойство можно трактовать так: «Если сложить почленно неравенства одинакового смысла, то получим неравенство того же смысла».Например, пусть 3 < a < 4, 4 < b< 5, тогда 7 < a + b< 9.

Свойство 5. Если a > b, c > d, то ac> bd, где a, b, c , d– положительные числа.

Доказательство. Так как a>b и с – положительное число, то, используя свойство 3, получим aс > bс. Так как c >d и b– положительное число, то bc > bd. Следовательно, по первому свойству ac > bd. Смысл доказанного свойства в следующем: «Если умножить почленно неравенства одинакового смысла, у которых левая и правая части - положительные числа, то получим неравенство того же смысла»

Например, 6 < a < 7, 4 < b< 5 тогда , 24 < ab < 35.

Свойство 6. Если a < b, a и b – положительные числа, то an< bn, где n– натуральное число.

Доказательство. Если почленно перемножить n данных неравенств a < b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

Рассмотрим пример на применение рассмотренных нами свойств.

Пусть 33 < a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a – b, произведение a ∙ b и частное a : b.

1) Оценим сумму a + b. Используя свойство 4, получим 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Оценим разность a – b. Так как нет свойства на вычитание, то разность a – b заменим суммой a +(–b). Сначала оценим (– b). Для этого, используя свойство 3, обе части неравенства 3 < b< 4 умножим на –1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) > b∙ (–1) > 4 ∙ (–1). Получим –4< –b< –3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и –4< –b< –3. Имеем 2 9< a – b <31.

3) Оценим произведение a ∙ b. По свойству 5 перемножим неравенства одного знака

33 < a < 34, 3 < b< 4. Тогда 99 < a ∙ b < 136.

4) Оценим частное . Деление заменим умножением

Сначала оценим

По следствию из свойства 3 имеем:

Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, а также оценивать результат.

Для доказательства свойств неравенств используется универсальный способ сравнения чисел, который заключается в том, что находится разность левой и правой частей неравенства. Если разность - положительное число, то левая часть больше правой части, иначе правая часть больше левой. (Если a – b > 0, то a > b. Если a – b < 0, то a < b).