На этом занятии мы познакомимся с определением линейного неравенства. Рассмотрим свойства, используемые при решении линейных неравенств. Научимся решать линейные неравенства.
Линейным неравенствомназывают неравенства вида aх+ b > 0 или aх+ b < 0, где переменная или искомая величина, a и b– некоторые числа, причем a ≠ 0.
Так как неравенство может быть строгим и нестрогим, то линейные неравенства могут иметь следующий вид aх+ b ≥0, aх+ b ≤ 0.
Неравенство является линейным, так как х входит в неравенство в первой степени.
Решением линейного неравенства является значение переменной х, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Возьмем неравенство 2х+5 > 0.
Подставим вместо х значение нуль. Получим 5 > 0. Это верное неравенство. Значит, х=0, является решением неравенства 2х+5>0.
Подставив вместо х значение –2,5, получим 0 > 0. Это неверное неравенство. Следовательно, х= –2,5 не является решением линейного неравенства 2х + 5>0. Подбирая значения х, можно найти еще несколько частных решений.
Найти все решения или доказать, что неравенство не имеет решений, означает решить линейное неравенство.
Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными.
При решении неравенств используют правила, применяя которые можно получить более простые для решения равносильные неравенства.
Решим неравенство 2х+5>0. И первое правило, которое здесь можно использовать: если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.
Получим2х > –5.
Далее можно использовать второе правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеположительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.
Разделим обе части неравенства на 2. Получим х > –2,5.
Ответ можно записать так: х > -2,5 или в виде числового промежутка
Результатом является положительно-направленный открытый луч.
Открытый, так как наше неравенство строгое, а значит, число –2,5 не включается в числовой промежуток.
Решим другое линейное неравенство 3х – 3 ≥ 7х – 15.
Так же, как при решении линейных уравнений, слагаемые с х перенесем влево, а числовые слагаемые – вправо. Не забудем при переносе поменять знаки слагаемых на противоположные. Исходя из первого правила, знак неравенства при этом не меняется.
Получим 3х – 7х ≥ –15 + 3 или –4х ≥ –12.
Далее используем третье правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеотрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.
Разделим обе части неравенства на –4.
Получим х ≤ 3.
Покажем решение на оси х.
Результатом является отрицательно-направленный закрытый луч. Закрытый, так как наше неравенство нестрогое, а значит, число 3 включается в числовой промежуток.
Рассмотрим решение более сложного линейного неравенства
Используя второе правило, обе части неравенства умножим на число 15. Число 15 будет общим знаменателем дробей.
Умножим числители на дополнительные множители.
Получим неравенство 5х + 6х – 3 > 30х.
Используя правило один, перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые – вправо, поменяв знаки при переносе на противоположные.
Получим –19х > 3.
Применим правило три, разделим обе части неравенства на –19. В этом случае надо поменять знак неравенства на противоположный знак .
Покажем решение на оси х.
Результатом является открытый луч, потому что неравенство строгое, а значит, число не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.
Решим следующее неравенство
Обе части неравенства умножим на 4.
Получим 5 – 2х ≤ 8х. Перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые – вправо
–2х – 8х ≤ –5 или –10х ≤–5.
Разделим обе части неравенства на –10. Это число отрицательное, по правилу 3 необходимо поменять знак неравенства на противоположный.
Получим х≥0,5.
Покажем решение на оси х.
Результатом является закрытый луч, так как неравенство нестрогое, а значит, число 0,5 включается в числовой промежуток. Это положительно-направленный луч.
При решении неравенств после преобразований может получиться так, что коэффициент при х равен нулю, например, 0∙х> b (или 0∙х< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.
Решим неравенство 2(х + 8) –5х < 4–3х.
Раскроем скобки 2х + 16 – 5х < 4 – 3х.
Используя свойство один, перенесем слагаемые с х влево, а числа– вправо, получим 0∙х < –12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < –12. Это неверное неравенство.
Ответ: нет решения или пустое множество.
Решим другое неравенство х > х – 1.
Перенесем х справа налево, получим 0∙х > –1. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 > –1. Это верное неравенство.
Важно запомнить:
Линейным неравенством называют неравенство вида aх+ b > 0 (или aх+ b < 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х – переменная, a и b– некоторые числа, причем a≠0.
Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
При решении линейных неравенств используют правила, позволяющие заменить данное неравенство на более простые для решения равносильные ему неравенства:
1) если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;
2)если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;
3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.
Целью применения этих правил является приведение линейного неравенства к виду х > b/a или х < b/a.
Решением линейного неравенства является числовой промежуток. Это может быть открытый или закрытый числовой луч, который может быть как
положительно-направленным, так и отрицательно-направленным.
Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!