В этом уроке познакомимся с самым интересным и творческим способом разложения многочленов на множители – способом группировки. В основе этого способа лежит умение раскладывать многочлен на множители путём вынесения общего множителя за скобку.

Давайте рассмотрим такой пример.

Разложить на множители многочлен

ах + ау + bх + bу

Если попытаться вынести какой-то общий множитель за скобку, то у нас ничего не получится, так как нет такого множителя для всех четырёх слагаемых. Но если присмотреться более внимательно, то можно заметить, что у первого и второго слагаемых есть общий для них множитель а, а для третьего и четвёртого слагаемых есть общий множитель b. Поэтому сначала мы сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвёртым. Вот что у нас получится:

(ах + ау) + (bх + bу)

На этапе объединения слагаемых в скобки важно помнить, что если мы поставим перед скобкой знак «+», то все слагаемые в скобках останутся со своими знаками. А если перед скобкой поставить знак «–», то знаки слагаемых в скобках надо поменять.

Вынесем за скобку первой группы множитель а, а за скобку второй группы множитель b. Тогда у нас получится выражение:

а (х + у) + b(х + у)

Теперь отчётливо видно, что в каждой группе образовался общий множитель (х + у), который можно вынести за скобку. Получим окончательный вариант:

(х + у) (а + b)

В этом примере можно было объединить слагаемые в группы и по-другому: первое слагаемое с третьим (у них общий множитель х), а второе слагаемое с четвёртым (у них общий множитель у). Вот что у нас получилось бы:

(ах + bх) + (ау + bу) = х (а + b) + у (а + b) = (а + b) (х + у)

Результат, конечно же, тот же.

Давайте рассмотрим такой пример.

Разложить на множители многочлен 3х2 + 9х + ху + 3у. Давайте попробуем сгруппировать первое слагаемое с четвёртым и вынести за скобку множитель 3, а также второе слагаемое с третьим и вынести за скобку множитель х. Вот что у нас получится:

(3х2 + 3у) + (9х + ху) = 3(х2 + у) + х (9 + у)

И всё. Больше общих множителей нет, продолжить разложение мы не можем. Такую группировку надо признать неудачной. Попробуем собрать группы по-другому. Объединим первое слагаемое со вторым (у них общий множитель 3х) и третье с четвёртым (у них общий множитель у). Получим такое решение:

(3х2 + 9х) + (ху + 3у) = 3х(х + 3) + у(х + 3) = (х + 3)(3х + у)

Теперь у нас всё получилось.

Давайте подведём итоги.

1. Из вышерассмотренных примеров можно сделать вывод, что группировать слагаемые можно различными способами.

2. Группы могут содержать не только два, но и любое количество слагаемых. Да и число таких групп не ограничено. Главное, чтобы после вынесения множителя в каждой группе образовался ещё один общий для всех групп множитель для дальнейшего вынесения.

3. Однако надо быть готовым к тому, что группировка может оказаться и неудачной. Значит, надо искать другой способ.

4. А иногда не мешает проверить самого себя: выполните умножение многочленов и посмотрите, получился ли у вас многочлен, который был дан в начале. Если нет, то надо искать ошибку.

5. Как видите, способ группировки содержит в себе зерно творчества. По мере приобретения опыта Вы будете быстро находить удачную группировку.