Слово «формула» означает правило, записанное при помощи букв. А формулировка «сокращённого умножения» подсказывает, что это правило, при помощи которого можно быстро выполнять умножение многочленов. Давайте рассмотрим такие случаи.

Пример 1. Выполним умножение многочлена а+в на многочлен а+в. Для этого каждое слагаемое первой суммы умножим на каждое слагаемое второй суммы и приведём подобные члены получившегося многочлена. Получим (а + в)(а + в) = а2 + ав + ва + в2 = а2 + 2ав + в2. Или

(а + в)2 = а2 + 2ав + в2.

Эту формулу называют квадратом суммы и читают:

«квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа». Или «квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение».

Пример 2. А теперь выполним умножение многочлена а-в на многочлен а-в. Получим (а – в)(а – в) = а2 – ав – ва + в2 = а2 – 2ав + в2. Или

(а – в)2 = а2 – 2ав + в2 .

Эту формулу называют квадратом разности и читают:

«квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа». Или «квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение».

Пример 3. Умножим разность а и в на их сумму (а – в)(а + в) = а2 – ав + ав – в2 = а2 – в2. Получили ещё одну формулу

а2 – в2 =(а – в)(а + в).

Эту формулу называют разностью квадратов и читают: 

«разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму».

Подобными действиями можно получить ещё две формулы.

Первая называется разность кубов и читается 

«разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы». Записывается так:

а3 – в3 = (а – в)(а2 + ав + в2).

Другая называется суммой кубов и читается 

«сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности». Записывается так

а3 + в3 = (а + в)(а2 – ав + в2).

Выпишем все формулы сокращенного умножения вместе и внимательно посмотрим, что полезного они нам могут дать.

а2 + 2ав + в2 = (а + в)2

а2 – 2ав + в2 = (а – в)2

а2 – в2 = (а – в)(а + в)

а3 – в3 = (а – в)(а2 +ав + в2)

а3+ в3 = (а + в)(а2 – ав + в2)

Заметим, что в левой части этих равенств стоят многочлены, а в правой – произведение многочленов. Значит, их можно использовать для разложения некоторых, казалось бы, безнадёжных многочленов на множители. Посмотрим это на конкретных примерах.

Пример 1. Разложить многочлен 16а2 – 4 на множители.

Решение: 

Если представить первое слагаемое в виде (4а)2, а второе как 22, то получим разность (4а)2 - 22, а здесь уже можно применить формулу разность квадратов, и это равно (4а – 2)(4а + 2).

16а2 – 4 = (4а)2 - 22 = (4а – 2)(4а + 2).

Пример 2. Разложить на множители многочлен 8х3 + к6.

Решение: 

Представим первое слагаемое как (2х)3, а второе слагаемое как (к2)3. Тогда получим сумму (2х)3 + (к2)3. Здесь применяем формулу сумма кубов и получаем ответ (2х + к2)(4х2 – 2хк2 + к4).

8х3 + к6 = (2х)3 + (к2)3 = (2х + к2)(4х2 – 2хк2 + к4).

Пример 3. Разложить на множители многочлен 9х2 + 12х + 4.

Решение: 

Перепишем этот многочлен в виде (3х)2 + 2∙ 3х ∙ 2 + 22. Тогда выполнены все условия для формулы квадрат суммы. Получим выражение (3х + 2)2, которое при необходимости можно представить в виде произведения двух равных многочленов.

9х2 + 12х + 4 = (3х)2 + 2∙ 3х ∙ 2 + 22 = (3х + 2)2 = (3х + 2) (3х + 2).

Таким образом, мы познакомились с пятью новыми формулами математики, которые называют формулами сокращённого умножения. А также увидели, как можно их применять к разложению многочленов на множители.