Неравенством называют высказывание, в записи которого используют знаки > или <. Например: 3 < 5, 19 > 2, а > 7, x < 32 и т.д.

Любое неравенство может представлять собой верное или неверное высказывание, другими словами, быть верно или неверно. Так, неравенство 2 > 0 верно, а неравенство 3 > 5 неверно, так как 3 меньше 5.

Неравенство y < 8 верно при y = 3, т.к. 3 < 8; и неверно при y = 20, т.к. 20 > 8. Иначе говорят, что число 3 удовлетворяет данному неравенству, а число 20 не удовлетворяет.

Исходя из этого, можем сделать вывод, что решение неравенства – это значение переменной, которое при подстановке в неравенство превращает его в верное высказывание. Решить неравенство означает найти все решения данного неравенства.

Так, число 3 является решением неравенства y < 8, а число 20 не является его решением.

Рассмотрим следующее неравенство 2 + a < 7. Какие из чисел 8, 3, 0, 10, 6 являются решением данного неравенства?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо данные числа подставить в неравенство вместо переменной а.

Проверим первое число 8:

2 + 8 < 7

10 < 7, неверно.

Проверим число 3:

2 + 3 < 7

5 < 7, верно.

Проверим число 0:

2 + 0 < 7

2 < 7, верно.

Проверим число 10:

2 + 10 < 7

12 < 7, неверно.

Проверим последнее число 6:

2 + 6 < 7

8 < 7, неверно.

После проверки можем ответить на поставленный вопрос: числа 3 и 0 являются решениями неравенства 2 + a < 7, так как превращают его в верное высказывание.

На данном примере легко заметить, что у неравенства 2 + a < 7 не одно решение. Помимо чисел 0 и 3 числа 1, 2, 4 также будут являться решениями данного неравенства, что можно доказать путем подстановки этих чисел в неравенство вместо переменной а:

2 + 1 < 7, 2 + 2 < 7, 2 + 4 < 7

3 < 7, верно

4 < 7, верно

6 < 7, верно.

Значит, неравенство 2 + a < 7 имеет пять решений – это числа 0, 1, 2, 3, 4. Другими словами, неравенство 2 + a < 7 имеет множество решений, представленное множеством чисел .

Множество решений неравенства – это полный список решений этого неравенства.

Неравенство y+ 6 < 4 не имеет ни одного решения, так как сумма y+ 6 при любом значении y будет больше 4, так как одно из слагаемых уже больше 4, 6 > 4. Множество решений этого неравенства является пустым множеством: Ø.

Рассмотрим еще два неравенства: b < 5 и b > 5.

Решениями неравенства b > 5 являются любые числа, больше 5. Это неравенство имеет бесконечное множество решений: . Изобразим множество решений неравенства на числовом луче:

Стоит отметить, что решения неравенства на числовом луче изображаются закрашенными кружками, а граница неравенства (число 5) не закрашенным кружком, так как данное неравенство является строгим.

Решим неравенство b < 5 при помощи числового луча:

Решением неравенства b < 5 будет множество решений .

1. Решение неравенства – это значение переменной, которое при подстановке в неравенство превращает его в верное высказывание.

2. Решить неравенство означает найти все решения данного неравенства.

3. Множество решений неравенства – это полный список решений неравенства.