§ 1  Свойства степени с натуральным показателем

Большинство математических свойств, правил и законов не появляются на свет сами по себе, а проходят в своём рождении несколько этапов. Сначала человек подмечает некоторые закономерности в ряде конкретных ситуаций. Затем пытается сформулировать эти закономерности для использования не только в конкретной ситуации, но и в других похожих случаях. И в заключении надо доказать, что найденная закономерность верна действительно для всех случаев. В этом уроке мы сформулируем и докажем свойства степени с натуральным показателем. Вспомним, что энной степенью числа а называют произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 1. Вычислить 42 ∙ 43.

Для решения необходимо вычислить произведение двух скобок, в первой произведение двух одинаковых множителей 4, а во второй произведение 3 одинаковых множителей 4. Получим: (4 ∙ 4) ∙ (4 ∙ 4 ∙ 4) = 16 ∙ 64 = 1024

1024 = 45

Легко заметить, что основание степени осталось прежним, а вот показатели сложились, поэтому выдвинем гипотезу, которую сформулируем в виде теоремы.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются. Т.е. аn ∙ аk = an+k где n,k – натуральные числа.

Докажем эту теорему.

аn∙ak = (a∙a∙…∙a)n множителей ∙ (а∙а∙…∙а)k множителей = а∙а∙…∙аn+k множителей = аn+k. Теорема доказана.

Пример 2. Вычислить 25 : 23.

Запишем частное при помощи дробной черты, получим:

Применив определение степени, получим:

Теперь сократим дробь на 2∙2∙2 и получим 2∙2 или 22. Заметим и здесь, что основание степени осталось прежним, а из показателя числителя вычли показатель знаменателя. Сформулируем теорему.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остаётся прежним, а из показателя числителя вычитается показатель знаменателя. Т.е. аn : ak = an-k, где а не равно 0, n и k натуральные числа и n> k.

Для доказательства рассмотрим равенство:

аn = an-k ∙ ak

По правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями надо сложить показатели. Получим:

an = an-k+k = an

Получено верное равенство, подтверждающее наше предположение.

Пример 3. Вычислить (23)2.

Имеем:

(23)2 = 23 ∙ 23 = 23+3 = 26

Здесь заметим, что показатели степеней перемножились. Сформулируем и докажем теорему.

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются, т. е ( аn)k = ank, где n и k – натуральные числа.

Имеем: (аn)k = an∙an∙…∙an(к множителей) = (а∙а∙….∙а) ∙ (а∙а∙…∙а) ∙ … ∙ (а∙а∙…∙а)( к групп по n множителей в каждой) = а∙а∙…∙а(nk множителей) = аnk. Теорема доказана.

Можно работать и со степенями с разными основаниями, но с одинаковыми показателями. Сформулируем ещё 2 правила.

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, надо перемножить основания, а показатель степени оставить прежним. Т.е. аn ∙ bn = (a∙b)n.

Например, 23 ∙ 33 = (2∙3)3 =63 = 216.

Правило 2. Чтобы поделить степени с одинаковыми показателями, надо поделить основания, а показатель оставить прежним. Т.е. аn: bn = (a:b)n. Например, 102 : 22 = (10:2)2 = 52 = 25.

§ 2  Степень с нулевым показателем

Необходимо помнить ещё об одном показателе, который не является натуральным, но напрашивается сам собой. Это степень с нулевым показателем. Рассмотрим частное:

а3 : а3

Согласно правилу деления степеней с одинаковыми основаниями имеем:

а3 : а3 = а3-3 = а0

При делении любого числа не равного нулю на само себя получится 1. Значит а0 = 1, где а – любое число, не равное 0.