Математика, как любая наука, имеет свой собственный язык. На нём многие утверждения выглядят более понятными, чем на обычном. Например, мы с вами говорим: «От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется». А математик напишет а + в = в + а. Он переводит утверждение, высказанное на привычном языке, на математический язык.

Вы, конечно, знаете, что есть устная и письменная речь.

Устная речь – это употребление специальных для данной науки терминов и утверждений. Есть они и у математиков. Например:

Сумма, переменная, треугольник, прямая – это всё математические термины.

Если число оканчивается чётной цифрой, то оно делится на 2 – это математическое утверждение, выраженное на математическом языке, с использованием математических терминов «число», «чётный», «цифра».

Письменная речь– это запись устных фактов при помощи разных чисел, переменных, знаков арифметических действий и иных специальных символов. Например, устно мы скажем «сумма чисел два и три равна пять», а напишем при помощи символов 2 + 3 = 5.

А теперь представьте себе такую ситуацию:

Около школы необходимо засадить цветами 3 клумбы. На первую клумбу высадили 15 кустов пионов и 13 кустов роз, на вторую – 12 кустов пионов и 12 кустов роз, а на третью – 9 кустов пионов и 18 кустов роз. 

Если нам нужно ответить на вопрос, сколько всего кустов было высажено на каждую клумбу, то нам три раза придётся осуществить одну и ту же операцию сложения:

На первую клумбу 15 + 13 = 28 кустов

На вторую клумбу 12 + 12 = 24 кустов

На третью клумбу 9 + 18 = 27 кустов.

Но если использовать язык математики, то выполнять одну и ту же операцию несколько раз не будет необходимости. Для этого обозначим количество пионов буквой а, а количество роз буквой в, тогда общее количество кустов будет а + в. Эта запись является математической модельюданной реальной ситуации.

Рассмотрим несколько примеров:

1) Реальная ситуация:«Количество кустов пионов равно количеству кустов роз» 

Математическая модель: а = в

2) Реальная ситуация:«Кустов пионов на 2 больше, чем кустов роз» 

Математическая модель: а – в = 2 или а = в + 2 или а – 2 = в

3) Реальная ситуация: «Роз посадили в два раза больше, чем пионов» 

Математическая модель: 2а = в или а = в : 2 или в : а = 2

Возникает законный вопрос: а зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она нам даёт, кроме удобства записи? Чтобы ответить на него, рассмотрим следующую задачу.

Задача:

На турбазе имеются палатки и домики, всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке 2 человека. Сколько на турбазе домиков, если всего на ней отдыхают 70 человек?

Решение:

Пусть х – количество домиков, тогда из условия задачи «на турбазе имеются палатки и домики, всего их 25» получим (25 – х) - количество палаток. Так же из условия задачи «в каждом домике живут 4 человека» имеем, 4х человек проживают в домиках, а в палатках 2(25 – х) человек, так как в задаче сказано, что в палатке живут 2 человека. Еще по условию задачи на турбазе всего проживает 70 человек, «всего» на математическом языке означает «сумму», а значит можно составить уравнение 4х + 2(25 – х) = 70

Полученное уравнение и есть математическая модель задачи. Решаем уравнение. Сначала раскроем скобки, получим

4х + 50 – 2х = 70

Затем приведём подобные слагаемые

2x + 50 = 70 

Перенесём известные слагаемые из левой части уравнения в правую 

2x = 70 – 50

2х = 20

x = 10.

Но ни о каком x в задаче речи не было, поэтому здесь нам необходимо остановиться и подумать: что же мы нашли? Мы нашли количество домиков на турбазе. Это искомая величина, поэтому можно дать ответ на вопрос задачи: на турбазе 10 домиков.

А теперь давайте ещё раз проанализируем наши действия. В процессе решения нам пришлось выполнить три шага.

На первом шаге мы ввели переменную х и перевели привычный нам текст на математический язык. В результате составили математическую модель в виде уравнения:

4х + 2(25 – х) = 70.

На втором шаге мы это уравнение решили и получили х=10. На этом этапе мы не думали ни про домики, ни про палатки, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью.

На третьем шаге мы проанализировали полученные результаты и дали ответ на вопрос, опять вернулись к привычному нам тексту.

Таким образом, в процессе решения задачи были чётко выделены 

3 этапа математическогомоделирования:

1 этап Составление математической модели

2 этап Работа с математической моделью

3 этап Анализ полученных результатов. Ответ на вопрос задачи.

Вот так обычно применяется математика к обычной жизни. Так нужны ли нам математические модели? Конечно нужны и не только для упрощения записей.

Какие бывают математические модели? Модели, составленные в виде выражений с переменными или уравнений называют алгебраическими. Бывают ещё модели графические или геометрические. Чтобы свободно оперировать с любыми видами математических моделей, нужно научиться переходить от одной из них к другой. Так, на этом уроке нам удался переход от словесной модели к алгебраической. Модели любого вида бывают не только простыми, но и сложными, громоздкими. И чем сложнее модель, тем больше фактов и правил нужно знать.