Видеоурок «Угол между скрещивающимися прямыми»
В разделе Геометрия один урок
Содержание:
§ 1  Векторный метод решения стереометрических задач

В этом занятии мы узнаем о преимуществах и недостатках векторного метода решения стереометрических задач, рассмотрим примеры применения этого метода координат к решению задач.

Векторное решение многих стереометрических задач значительно проще их решения классическим методом, так как этот метод требует отличного знания теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической.

Вместе с тем, чтобы векторы стали аппаратом решения геометрических задач, необходимо:

·уметь переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику (на «векторный язык»),

·выполнять соответствующие алгебраические операции над векторами,

·полученный в векторной форме результат переводить «обратно», на «геометрический язык».

Метод координат удобен для нахождения:

·угла между прямыми (особенно, если эти прямые – скрещивающиеся);

·угла между прямой и плоскостью и угла между плоскостями;

·расстояния между двумя прямыми и между плоскостями;

·расстояния от точки до плоскости.

Для применения метода координат к решению задач сначала требуется ввести удачно систему координат и отыскать координаты нужных точек.

§ 2  Применение векторного метода в решении задач

Рассмотрим применение векторного метода для нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения угла между прямыми можно воспользоваться формулой для нахождения угла между векторами:

Косинус угла между векторами равен частному модуля скалярного произведения векторов и произведения длин векторов:

Так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов, а квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, поэтому

Примеры решения задач

Задача 1.

В кубе АВСDА1В1С1D1 точки E и К – середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно. Найти косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

Решение:

1. Введем систему координат. Пусть вершина куба – точка D – начало отсчета. Ось абсцисс направим вдоль вектора DA, ось ординат – вдоль вектора DC, а ось аппликат – вдоль ребра DD1

2. Определим координаты точек А, B, E и K

Для этого из соответствующих координат конца вектора вычтем координаты начала вектора.

Подставим данные в формулу.

Задача 2. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ1 и ВE1.

I способ (классический)

2. Е1В – наклонная, A1В – проекция.

3. А1В1⊥ В1А1 (как диагонали квадрата АВВ1А1)

4. По теореме о трех перпендикулярах:

Ответ: угол между прямыми АВ1 и ВE1 равен 90°.

II способ (векторный метод)

1. АВСDEF – правильный шестиугольник, поэтому АЕ ⊥ЕD.

Пусть Е – начало системы координат, тогда ось х направим вдоль отрезка АЕ; ось у – вдоль отрезка ED, а ось z – вдоль ребра ЕЕ1.

2. Тогда координаты точек А(АЕ; 0; 0), Е1(0;0;1), В(АЕ;1;0), В1(АЕ;1;1).

Найдем АЕ, для этого рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник АВСDEF.

∠F =120° применим теорему косинусов для стороны EA в ∆ AFE

но

3. Определим координаты векторов B1Aи E1B. Для этого из соответствующих координат конца вектора вычтем координаты начала вектора.

Ответ: угол между прямыми АВ1 и ВE1 равен 90°

§ 3  Краткий итог урока

Таким образом, на занятии мы рассмотрели применение векторного метода к нахождению угла между скрещивающимися прямыми. Преимущество векторного метода перед классическим очевидно в том случае, когда можно ввести систему координат так, чтобы координаты векторов определялись путем несложных вычислений.

Список использованной литературы:
  1. Геометрия. 10 класс: учеб. для классов с углубленным и профильным изучением математики/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич.- М.: Дрофа, 2010.-223с.: ил.
  2. Математика. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену /Л.П. Крутских, Н.А. Борисова, Р.Е. Илюйкина, И.А. Копылова и др.; под общ. ред. Л.П. Крутских.- Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2013.- 196с.
Использованные изображения:

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!