Видеоурок «Сумма двух векторов»
В разделе Геометрия 8 уроков
Сумма двух векторов

Представим ситуацию, автомобиль выехал из пункта А и прибыл в пункт В, а затем поехал в пункт С.

В результате этих переездов автомобиль выехал из пункта А и прибыл в пункт С.

Описать данное движение можно при помощи векторов АВ и ВС.

Однако общий результат перемещения можно обозначить вектором АС. 

Поскольку перемещение из точки А в С складывается из перемещения из точки А в В и перемещения из точки В в С, то вектор АС естественно назвать суммой векторов АВ и ВС.

Рассмотренный пример показывает нам, как можно сложить два вектора.

Пусть нам даны два вектора а и b.

От произвольно выбранной точки А отложим вектор АВ, равный вектору а.

Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b.

Вектор АС называется суммой векторов а и b, эта сумма обозначается так:

Складывая вектора таким образом, мы получаем геометрическую фигуру в виде треугольника, поэтому данное правило сложения двух векторов принято называть правилом треугольника.

Оказывается, если заменить исходную точку А другой точкой А1, то искомый вектор АС заменится равным ему вектором А1С1.

Другими словами, если вектор АВ равен вектору А1 В1 и вектор ВС равен вектору В1С1, то вектор АС равен вектору А1С1.

Докажем это.

Допустим, что точки А, В, А1 , точки В, С, В1 и точки А, С, А1 не лежат на одной прямой.

(Остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Тогда из равенства векторов АВ и А1В1 следует, что в четырехугольнике А1АВВ1 две стороны АВ и А1В1 равны и параллельны, так как равные векторы равны по длине и являются сонаправленными, т.е. направлены в одну и ту же сторону и расположены на одной или параллельных прямых.

Аналогично в четырехугольнике В1ВСС1 стороны ВС и В1С1 также равны и параллельны.

Таким образом, рассмотренные четырехугольники являются параллелограммами, из чего следует, что АА1 = ВВ1 и ВВ1 в свою очередь равно СС1.

Из полученного двойного неравенства следует, что АА1 = СС1.

Тогда четырехугольник АА1С1С также является параллелограммом и, следовательно, АС и А1С1 равны и параллельны.

А по определению равенства векторов вектор АС равен вектору А1С1, что и требовалось доказать.

Если использовать правило треугольника и сложить произвольный вектор а с нулевым вектором, то получим, что сумма ненулевого вектора а и нуль-вектора равна данному ненулевому вектору а.

Иная формулировка правила треугольника звучит так:

если А, В и С – произвольные точки, то сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС.

Полный конспект доступен по подписке

Всего - 49 рублей в месяц!

Купить подписку

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!