Видеоурок «Методика решения задач на прямолинейное равномерное движение. Часть 1»
В разделе Алгебра 30 уроков
Содержание:
§ 1  Методика решения задач на прямолинейное равномерное движение

Из всех текстовых задач на движение чаще всего встречаются задачи на прямолинейное равномерное движение. Оно отличается от других видов тем, что тело движется с постоянной скоростью. В этих задачах присутствуют три элемента: v− скорость, t− время, S− расстояние или путь, пройденный телом. Для успешного решения таких текстовых задач необходимо различать 2 вида движения. Первый вид движения − это движение объектов в противоположных направлениях − навстречу друг другу, иначе говорят "задачи на сближение" или друг от друга, иначе говорят "задачи на удаление". Второй вид движения - это движение объектов в одном направлении, когда один объект догоняет другой, иначе говорят "задачи на приближение". При движении объектов в разных направлениях скорость "сближения" или "удаления" равна сумме скоростей этих тел v1 объекта + v2 объекта. При движении объектов в одном направлении скорость приближения тел друг к другу равна разности большей и меньшей скоростей объектов v1 объекта - v2 объекта( v1 объекта > v2 объекта). Часто упрощает решение задач на движение понимание взаимной обратной зависимости скорости и времени движения: во сколько раз увеличивается время, во столько же раз уменьшается скорость движения при прохождении телом одного и того же пути

В качестве неизвестных в таких текстовых задачах чаще всего удобно выбирать расстояние и скорости движущихся тел, если они не заданы. В задачах, где в условии не представлены единицы длины принято весь путь брать за единицу длины, а скорость тела выражают долей всего пути в единицу времени.

В текстовых задачах на прямолинейное равномерное движение при проведении смысловой проверки полезно знать, что средняя скорость пешехода изменяется в пределах 2,5-5 км/ч, велосипедиста от 7 до 16км/ч, автобуса, автомобиля или мотоцикла от 20 до 60км/ч по городу и от 60 до 100км/ч на трассе, самолёта от 250 до 1000км/ч.

При решении задач на движение важно помнить, что перед выполнением действий все данные задачи надо выразить в одних и тех же единицах измерений.

Напомню, что длина пути в 1 километр равна 1000 метрам, 10000 дециметрам и 100000 сантиметрам. Чтобы перейти от большей величины к меньшей, надо величину умножить на соответствующее число отношения. Чтобы перейти от меньшей величины к большей, надо величину разделить на соответствующее число отношения. Например, 56 км равны 56000м, а 56 м равны 0,056 километра. Время продолжительностью в 1 ч равно 60 м, 3600 с. Чтобы перейти от большей величины времени к меньшей, надо данное время умножить на соответствующее число отношения. Чтобы перейти от меньшей величины времени к большей, надо данное время разделить на соответствующее число отношения. Например, 3 ч равны 3 · 3600 с, то есть 10800 секунд, а 3 м равны:

Из всего вышесказанного несложно вывести правила перевода единиц скоростей:

§ 2  Решение задач

Рассмотрим приёмы решения текстовых задач на прямолинейное равномерное движение.

ЗАДАЧА:

Велосипедист преодолел расстояние 154км из Киева в Чернигов с постоянной скоростью без остановок. На следующий день он, возвращаясь обратно, ехал безостановочно с большей скоростью на 3км/ч и, поэтому он затратил времени на 3ч меньше, чем на проезд из Киева. Определите скорость движения велосипедиста в Чернигов.

РЕШЕНИЕ:

Решим задачу арифметическим способом.

Для применения этого способа достаточно знать таблицу умножения, признаки делимости и уметь раскладывать числа на множители. Из условия задачи известно, что велосипедист проехал из Киева в Чернигов и обратно равные расстояния. Это расстояние определяется по формуле S = vt, где v− скорость велосипедиста, выраженное в км/ч и t− время движения велосипедиста, выраженное в часах, при прохождении расстояния 154км. Определим все простые делители числа 154: это числа 2, 7 и 11. Из них образуем два делителя, большие 3км/ч − разности скоростей движения туда и обратно, для этого перемножим меньшие делители, чтобы осталось два множителя 14 и 11. Согласно формулы вычисления расстояния одно из этих чисел может быть скоростью велосипедиста, а другое − временем его движения. Следовательно, 11км/ч и 14ч возможные скорость и время движения велосипедиста в Чернигов, а 14км/ч и 11ч возможные скорость и время возвращения велосипедиста в Киев. Проверим выполнение условий задачи при полученных данных. Согласно условия задачи велосипедист возвращаясь в Киев, ехал безостановочно с большей скоростью на 3км/ч. Имеем, 14км/ч − 11км/ч = 3км/ч. Одно условие выполнено. Велосипедист затратил на обратный путь в Киев на 3 часа меньше. Имеем, что 14ч − 11ч = 3ч. Второе условие задачи тоже выполнено. Таким образом, 11км/ч − скорость велосипедиста при переезде из Киева в Чернигов. Мы ответили на главный вопрос задачи. Ответ: 11км/ч.

Решим эту задачу геометрическим способом.

Зададим координатную плоскостьSOt, где Ot - ось абсцисс, на которой будем отмечать время движения, выраженное в часах, OS - ось ординат, на которой будем отмечать пройденное расстояние, выраженное в км. На оси ординат отложим произвольный отрезок ОА, моделирующий расстояние между Киевом и Черниговом 154 км. Положения точек О и А соответствуют положению городов Киев и Чернигов. Через точку А проведём луч, параллельный оси абсцисс Ot. Из точки О проведём отрезки ОВ и ОС так, чтобы точки В и С лежали на построенном луче, причём точка В левее точки С. Эти отрезки моделируют движение из Чернигова в Киев и из Киева в Чернигов соответственно. Отрезок ВС моделирует разность времени движения туда и обратно, равная 3часам. Через абсциссу t = 1ч проведём вертикальную линию и обозначим точки пересечения этой линии с осью Оt буквой К, с отрезком ОС буквой М, с отрезком ОВ буквой Р, с лучом, проведённым из точки А, буквой Т. Длины отрезков КМ и КР моделируют скорости движения велосипедиста из Киева в Чернигов и из Чернигова в Киев соответственно.

Рассмотрим треугольник ОМК и треугольник ТМС. Эти треугольники прямоугольные и острые углы при вершинах О и С равны, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Следовательно, эти треугольники подобны. По определению подобных треугольников отношения длин отрезков ТС к ОК и ТМ к МК равны. Аналогично рассуждая, несложно доказать, что треугольники ОКР и ВТР подобны, а, значит, отношения длин отрезков этих треугольников ТВ к ОК и РТ к РК равны. По условию задачи надо определить скорость движения велосипедиста из Киева в Чернигов, значит, длину соответствующего отрезка МК обозначим за искомую величину v км/ч. Тогда длина отрезка РК = v + 3 км/ч, длина отрезка ТМ = 154 − МК = 154 −v км/ч, длина отрезка ТР = 154 − РК = 154 − (v + 3) = 154 −v− 3 = 151 −v км/ч. Длина отрезка ОК соответствует 1 часу, значит, ОК = 1. Пусть длина отрезка ТВ соответствует t час, тогда отрезок ТС соответствует t + 3 часа.

-3v2− 9v + 462 = 0, разделим обе части уравнения на -3. Имеем v2 + 3v− 154 = 0. Решая уравнение получаем два корня v1 = -14, v2 = 11. По смыслу задачи переменная v должна быть положительной величиной v > 0, значит, решение уравнения v = -14 не является решением задачи. В таких случаях говорят, что -14 является посторонним решением. А корень v = 11 является искомой величиной. Таким образом, мы ответили на главный вопрос задачи 11км/ч − скорость движения велосипедиста из Киева в Чернигов.

Решим эту задачу алгебраическим способом.

Пусть х км/ч − скорость движения велосипедиста из Киева в Чернигов, тогда составим таблицу данных задачи. В столбцах отметим элементы движения: v скорость, выраженная в км/ч, t− время, выраженное в часах, S− расстояние, выраженное в км. В задаче присутствуют два вида движения: Киев − Чернигов и Чернигов − Киев. В столбце скоростей v проставим х км/ч и х + 3 км/ч сверху вниз соответственно видам движения, в столбце расстояния S в обеих строках запишем 154 км, так как расстояния на обоих участках движения равны. В столбце времени t запишем выражения времени при каждом виде движения:

и

Так как время движения на обоих участках отличается на 3часа, то составим уравнение:

Решая уравнение получаем корни х1 = -14, х2 = 11

Выполняя смысловую проверку решений уравнения, получаем 11км/ч - ответ на главный вопрос задачи.

Итак, на этом занятии мы рассмотрели особенности решения задач на прямолинейное равномерное движение и разобрали различные способы решения одной такой задачи

Список использованной литературы:
  1. А.Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1. Учебник. (ФГОС) 16-е издание, исправленное. - М.: Мнемозина, 2013.
  2. А.Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1. Задачник. 16-е издание, исправленное. - М.: Мнемозина, 2013.
  3. А.Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра. 9 класс. Методическое пособие для учителя. М.: Мнемозина, 2013.
  4. А.Г. Мордкович, Н. П. Николаев. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1 - учебник. (ФГОС) Учебник для классов с углублённым изучением математики. - М.: Мнемозина, 2014.
  5. А.Г. Мордкович. Преподавание алгебры. Методическое пособие для учителя. 8-9 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
Использованные изображения:

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!