§ 1  Решение текстовых задач на целые числа алгебраическим способом

ЗАДАЧА 1. Чебурашка и крокодил Гена пришли к старухе Шапокляк на день рождения. Число исполнившихся ей лет выражено двузначным числом. Причём, если приписать к этому двузначному числу цифру 7 сначала справа, а потом слева, то разность соответствующих полученных трёхзначных чисел составит 126. Сколько лет исполнилось старухе Шапокляк?

Р Е Ш Е Н И Е :

где х - цифра десятков, у - цифра единиц.

Если приписать к этому двузначному числу цифру 7 справа, то получится число

а если приписать к этому двузначному числу цифру 7 слева, то получится число

По условию задачи разность соответствующих полученных трёхзначных чисел составит 126, значит, имеем уравнение

700 + 10х + у – (100х + 10у + 7) = 126.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем уравнение

90х + 9у = 567. Обе части уравнения разделим на 9, тогда

Мы ответили на главный вопрос задачи: старухе Шапокляк исполнилось 63 года.

О Т В Е Т :63 года.

ЗАДАЧА 2.Однажды вечером перед сном Плюшкин пересчитывал свой капитал. Сложив денежные купюры в 3 равные кучки, у него осталась одна купюра, а переложив их в 5 равных кучек, осталось две купюры. Сколько купюр останется у Плюшкина, если он разложит их в 15 равных кучек?

Р Е Ш Е Н И Е :

Составим математическую модель.

По условию задачи у Плюшкина после разложения денежных купюр в 3 равные кучки осталась одна купюра, значит, согласно правил делимости целых чисел общую сумму его капитала s можно представить как 3х + 1, где х – число купюр в одной кучке.

s = 3 x + 1

После перекладывания денежных купюр в 5 равных кучек у Плюшкина осталось две купюры, значит, согласно правил делимости целых чисел общую сумму его капитала s можно представить как 5 у + 2, где у – число купюр в одной кучке.

s = 5 y + 2

Приравняв правые части полученных уравнений

3 х + 1 = 5 у + 2,

выразим x через y

Учитывая, что переменные х и у – натуральные числа, получаем, что y может принимать значения 4, 7, 10, 13 ... и так далее, то есть

y = 3 n + 1

Подставив полученное выражение для y в уравнение s = 5 y + 2, имеем, что

s = 5 (3 n + 1) + 2 или s = 15 n + 7

Из полученного уравнения делаем вывод, что при разложении всех купюр капитала Плюшкина на 15 равных кучек останется 7 купюр. Мы ответили на главный вопрос задачи.

О ТВ Е Т : 7 купюр.