Видеоурок «Геометрический способ решения текстовых задач»
В разделе Алгебра 30 уроков
Содержание:
§ 1  Способы решения текстовых задач

Существует несколько способов решения текстовых задач:

арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели. В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи. В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи. В геометрическом способе математической моделью является геометрическая фигура, а решение задачи – это один из найденных элементов этой фигуры. В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи. В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи являются координаты определённых точек графиков.

§ 2  Примеры решения текстовых задач геометрическим способом

На этом занятии мы рассмотрим геометрический способ решения текстовых задач.

Геометрический способ решения текстовых задач заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Этот способ делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. Для составления математических моделей задач геометрическим способом чаще всего применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади. Рассмотрим следующую задачу.

Задача 1.

На одно платье и три сарафана пошло 9м ткани, а на три таких же платья и пять сарафанов – 19м ткани. Сколько ткани требуется на одно платье и на один сарафан? 

Решение.

Во-первых, составим геометрическую модель этой задачи. Изобразим одно платье синим отрезком одной длины, а три сарафана – тремя синими отрезками другой длины. Все четыре отрезка будут моделировать количество ткани, использованное для пошива платья и трёх сарафанов, то есть 9м. Ниже смоделируем соответствующими отрезками условие задачи, что на три таких же платья и пять сарафанов потратили 19м ткани, значит, начертим три синих и пять красных соответствующих отрезка. Так как во втором условии задачи платьев в три раза больше, чем в первом условии, то в третьей строке начертим три фигуры первой строки, получим три синих и девять красных отрезков общей условной длиной 27м.

Получили, что длина третьей фигуры отличается от длины второй фигуры на 4 равных синих отрезка, а длина их соответствует 27 – 19метрам, то есть 8-ми метрам. Итак, получили, что на 4 сарафана потрачено 8 м ткани, значит, на один сарафан – 2м. Найти длину ткани, потраченной на платье, позволит первая фигура. Очевидно, что длина синего отрезка соответствует 9 – 3 умноженное на 2м, то есть 3м ткани. Таким образом, мы ответили на главные вопросы задачи: 3м ткани требуется на одно платье и 2м на один сарафан.

Рассмотрим другую задачу на применение геометрического метода с использованием свойств площади прямоугольника.

Задача 2.

Токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в срок. Однако он делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей должен был изготовить токарь?

Решение.

Так как в этой задаче общий объём изготовленных деталей зависит от производительности и времени работы токаря, то наиболее удобной моделью этой задачи будет прямоугольник. Одна из его сторон будет характеризовать производительность, а другая – время работы. Так как объём выполненной работы равен произведению скорости выполнения работы на время, а площадь прямоугольника равна произведению её сторон, то общее количество сделанных деталей будет отражать площадь смоделированного прямоугольника. По условию задачи токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в срок, значит, изобразим прямоугольник длиной 24условных единицы и шириной t единиц, где t – характеризует время, необходимое для выполнения задания в срок.

Однако по условию задачи токарь делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Значит, смоделируем новый прямоугольник длиной большей на 15 условных единиц и шириной меньшей на 6 условных единиц и наложим для сравнения его на первоначальный прямоугольник. Таким образом, плановое выполнение деталей соответствует сумме площадей двух прямоугольников S1 + S2, а фактическое выполнение больше плана на 21 деталь, то есть S1 + S2 + 21. Из чертежа несложно определить, что S2 = 24умноженное на 6, то есть S2 = 144(деталям). Значит, площадь красного прямоугольника будет выражена 15умноженное на t – 6 с одной стороны, и 144 + 21 с другой стороны. Решая несложное уравнение 15t – 90 = 165, получаем, что t = 17. Таким образом, по плану токарь должен был затратить 17 дней. Следовательно, по плану токарь должен изготовить 17 умноженное на 24 деталей, то есть 408 деталей.

Мы рассмотрели геометрический способ. Этот способ полезен тем, что он позволяет избежать громоздких вычислений. Для успешного применения этого способа важно научиться видеть фигуры, позволяющие увязать известные и неизвестные величины из условия задачи.

§ 3  Особенности решения текстовых задач геометрическим способом

Чтобы решить текстовую задачу геометрическим способом, надо

1. смоделировать условия задачи в геометрические фигуры, чаще это отрезки или прямоугольники;

2. увязать числовые данные и неизвестные искомые величины, упомянутые в условии задачи;

3. опираясь на свойство отрезков, что длина отрезка равна сумме всех его частей, на которые он разбивается любой его точкой, или на свойство площади прямоугольника, что площадь прямоугольника равна сумме площадей всех его фигур, на которые он разбит, составить числовое выражение или несложное уравнение с переменной. Значение числового выражения или решение уравнения позволят ответить на главный вопрос задачи.

Список использованной литературы:
  1. Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи.– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006г.
  2. В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
  3. Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.
  4. Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи". http://festival.1september.ru/articles/310281/
  5. Н.А. Зарипова Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса "Решение текстовых задач" http://festival.1september.ru/articles/415044/
Использованные изображения:

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!