§ 1  Функционально-графический способ решения рационального и дробно-рационального неравенства

Рассмотрим функционально-графический способ решения рационального и дробно-рационального неравенств, а также решим такие неравенства с помощью графиков.

Рациональным неравенством называется неравенство вида f(x) < g(x), 

где f(x) и g(x) - многочлены.

Дробно-рациональным неравенством называется неравенство вида

При этом в неравенствах может стоять не только знак меньше, но и знак больше, не меньше или не больше.

Для того чтобы решить такие неравенства с помощью графиков надо: 

1) в одной системе координат построить графики функций левой и правой частей неравенства; 

2)выделить точки пересечения графиков выколотыми точками, если неравенство строгое и закрашенными точками при нестрогом знаке неравенства; 

3) выделить область графика функции левой части неравенства, соответствующую знаку неравенства: если стоит знак меньше или не больше, то выделенная область должна быть ниже графика функции правой части неравенства, а, если стоит знак больше или не меньше, то выделенная область должна быть выше графика функции правой части неравенства; 

4) решением исходного неравенства является множество абсцисс точек выделенной области графика.

§2. Примеры решения рационального и дробно-рационального неравенств функционально-графическим способом

Рассмотрим примеры решения рационального и дробно-рационального неравенств функционально-графическим методом.

ПРИМЕР 1. 

Решите неравенство – х3 + 4х ≤ х2 – 4 с помощью графиков.

РЕШЕНИЕ.

Приведём рациональное неравенство к виду f(x) не больше g(x), где f(x) и g(x) будут удобными функциями для построения их графиков. Сформировать функции f(x) и g(x) можно переносом слагаемых из одной части неравенства в другую различными способами. Удобнее всего выделить кубическую функцию и квадратичную функцию. Тогда имеем – х3 ≤ х2 – 4х – 4. 

Теперь применим алгоритм решения рациональных неравенств с помощью графиков. 

1. В одной системе координат построим графики кубической функции у = –х3 и квадратичной функции у = х2 – 4х – 4. Графиком кубической функции является кубическая парабола с вершиной в точке с координатами (0; 0) и ветвями, проходящими через точки (–2; 8), (–1; 1), (1; –1) и (2; –8). Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола у = х2 в новой системе координат с началом в точке с координатами хвершины = –b/2a и увершины = у(хвершины), то есть абсцисса х вершины параболы равна 4:2 или х= 2, а ордината у вершины параболы равна 2 в квадрате – 4·2 – 4, то есть –8. 

2. Выделим точки пересечения графиков с координатами (–2; 8), (–1; 1) и (2; –8) закрашенными точками, так как неравенство нестрогое. 

3. Выделим область графика кубической параболы, расположенную ниже квадратичной параболы. 

4. Решением данного неравенства является отрезок от –2 до –1 и луч от 2 до +∞.

Ответ: х ∊ [–2; –1] ∪ [2;+∞).

ПРИМЕР 2. 

РЕШЕНИЕ.

Приведём дробно-рациональное неравенство к удобному виду для построения графиков. Для этого числитель дроби представим в виде х(х + 2) + 6 и почленно разделим на знаменатель 

Теперь применим алгоритм решения дробно - рациональных неравенств с помощью графиков.

4. Решением данного неравенства является открытый луч от – ∞ до – 5 и открытый интервал от –2 до –1.

Ответ: х ∊ (–∞; –5) ∪ (–2; –1).

На этом занятии мы рассмотрели функционально-графический способ решения рационального и дробно-рационального неравенств, а также решили такие неравенства с помощью графиков.