§ 1  Алгоритм функционально-графического метода решения квадратного неравенства

На этом занятии мы познакомимся с понятием квадратного неравенства и алгоритмом его решения, а также рассмотрим примеры решения квадратных неравенств.

Квадратным неравенством называется неравенство вида ах2 + bx + c < 0, где а≠0,

b,с – действительные числа, х – переменная.

В квадратном неравенстве может быть не только знак меньше, но и знак больше, не меньше или не больше.

Для решения квадратного неравенства используют два метода: функционально-графический и метод интервалов.

Рассмотрим алгоритм функционально-графического метода решения квадратного неравенства:

1. Введём квадратичную функцию у = ах2 + bx + cи построим её схематический график. Графиком квадратичной функции является парабола. Если старший коэффициент а положительный а > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если старший коэффициент а отрицательный а < 0, то ветви параболы направлены вниз. Определим нули функции, то есть абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс Ох. Для этого надо решить квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения параболы с осью Ох.

Если уравнение не имеет корней, то вершина параболы и продолжения её ветвей расположены в одной полуплоскости относительно координатной прямой Ох.

2. Выделим часть квадратичной параболы, соответствующую знаку неравенства:

если в неравенстве стоит знак меньше <, то в область решения войдёт часть параболы, расположенная ниже координатной прямой Ох с выколотыми точками пересечения. Если в неравенстве стоит знак не больше ≤, то в область решения войдёт часть параболы, расположенная ниже координатной прямой Ох с закрашенными точками пересечения. Если в неравенстве стоит знак не меньше ≥ , то в область решения войдёт часть параболы, расположенная выше координатной прямой Ох с закрашенными точками пересечения. Если в неравенстве стоит знак больше >, то в область решения войдёт часть параболы, расположенная выше координатной прямой Ох с выколотыми точками пересечения. 3. Решением исходного неравенства являются абсциссы точек выделенных областей на графике.