Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Для решения задач в геометрии часто используются три признака подобия треугольников, сформулируем второй из них.

Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Докажем это утверждение.

Дано:

Доказать:

∆ АВС и ∆ А1В1С1 подобны.

Доказательство:

Для доказательства применим первый признак подобия треугольников, а именно: «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны» . 

По условию ∠А = ∠А1 , остается доказать, что ∠В = ∠В1.

Рассмотрим ∆АВС2, у которого ∠1 = ∠А1, ∠2 = ∠В1.

∆ АВС2 и ∆ А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Рассмотрим ∆АВС и ∆АВС2. 

Так как у этих треугольников, 

во-первых, сторона АВ – общая, 

во-вторых, АС = АС2, 

в-третьих, ∠САВ = ∠1, так как ∠САВ = ∠А1и ∠1 = ∠А1 , 

можно сделать вывод, что ∆АВС = ∆АВС2 по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников ∆АВС и ∆АВС2 следует, что ∠В = ∠2, а так как ∠2 = ∠В1 , то ∠В = ∠В1.

Что и требовалось доказать.

Решим задачу.

Задача: Отрезки АD и ВС пересекаются в точке О так, что АО = 12 см, ВО = 10 см, СО = 30 см, DО = 4 см. Докажите, что треугольники АОС и DОВ подобны.

Решение:

Дано:

АD и ВС пересекаются в точке О.

АО = 12 см,

ВО = 10 см,

СО = 30 см,

DО = 4 см.

Доказать:

треугольники АОС и DОВ подобны.

Доказательство:

вертикальные углы), а значит, треугольники АОС и DОВ подобны по второму признаку подобия треугольников.