Рациональные числа

В этом уроке сформулируем понятие «множество рациональных чисел».

Множество рациональных чисел обозначается заглавной английской буквой Q.

Это множество включает в себя множество целых чисел (обозначается Z) и натуральных чисел (обозначается N).

Известно, что натуральные числа – это числа, которые мы используем при счете, т.е. 1,2,3,…; целые числа – это все натуральные числа 1,2,3,…., а также 0 и все целые отрицательные числа: -1,-2,-3,….

Если к множеству целых чисел Z присоединить все обыкновенные дроби: 5/7, 35/8, 66/83… , то получится множество рациональных чисел Q.

∈∉⊂⊄

Данное включение можно обозначить в виде: N ⊂ Z, Z ⊂ N.

Математический символ «⊂» называют знаком включения (одного множества в другое). Элементы x множества X принято записывать x ∈ X, знак «∈» является знаком принадлежности.

А записи «А ⊄ В» и «х ∉ Х» означают соответственно, что множество А не является частью (подмножеством) множества В, и элемент х не принадлежит множеству Х.

Рассмотрим несколько примеров использования данных математических символов для сокращения записи верных математических утверждений или, по-другому, истинных высказываний.

Пример 1:

Для всех рациональных чисел можно использовать один и тот же способ записи.

Обсудим это.

Возьмем целое число 3, его можно записать в виде бесконечной десятичной дроби 3,0000…., а также можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби 3,(0):

Аналогично можно записать и десятичную дробь, например, 5,466:

А обыкновенную дробь можно представить в виде:

где повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом.

Таким образом, любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное:

любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

А значит, любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Решение:

а) Для решения воспользуемся методом «деления углом»:

Ответ: 0,(45)

б) Для решения этого примера положим x=1,3(47)=1,3474747....

Сначала умножим x на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: 10х=13,474747....

Теперь число 10x умножим на 100, тогда запятая сместится ровно на один период вправо: 1000x=1347,474747....

Вычитаем:

Находим:

Аналогично поступаем в следующем примере

в) Пусть

Тогда

Обратите внимание, что

Таким образом, дробное число имеет две записи в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

В последнем примере получили

Аналогично можно показать, что 0,1(9)=0,2(0) или, например, 2,46(9)=2,47(0).

Поэтому обычно десятичные дроби с периодом 9 не рассматривают, заменяют их соответствующими дробями с периодом 0.