В этом уроке разберем такие понятия, как квадратное уравнение, квадратный трехчлен, дадим определение неполного квадратного уравнения, определение приведенного квадратного уравнения и рассмотрим решение наиболее простых уравнений – неполных квадратных уравнений.
Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c –некоторые числа, х – переменная, причём a ≠ 0.
Числа a, b, c называют коэффициентами квадратного уравнения.
Причем, a называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом или коэффициентом при х, c – свободным членом.
Например, квадратное уравнение 2х2 – 4х – 7 = 0 имеет коэффициенты
старший: a = 2,
коэффициент при х: b = –4,
свободный член: с = –7.
Левая часть квадратного уравнения ax2 + bx + c – это многочлен второй степени.
Поэтому квадратное уравнение называют уравнением второй степени. А многочлен
ax2 + bx + c называют квадратным трехчленом.
Если в квадратном уравнении старший коэффициент a равен 1или, можно сказать, коэффициент при х2 равен 1, то такое квадратное уравнение называют приведенным. Например, уравнение 2х2 – 4х – 7 = 0 не является приведенным, так как коэффициент a равен 2. А уравнение х2 + 4х – 1 = 0 – приведенное квадратное уравнение.
Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным. Для этого надо обе части уравнения разделить на коэффициент a.
Например, в уравнении 2х2 – 4х – 7=0 разделим обе части уравнения на 2.
Получим равносильное данному приведенное квадратное уравнение х2 – 2х – 3,5=0.
Рассмотрим вопрос о корнях квадратного уравнения. Так как левая часть квадратного уравнения – это многочлен второй степени, то уравнение может иметь два корня. Корнем квадратного уравнения ax2 + bx +c=0 называют значение переменной х, при котором квадратный трехчлен равен нулю. Вообще, решить уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Любое квадратное уравнение, приведенное или неприведенное, является полным квадратным уравнением. В полном квадратном уравнении все три коэффициента отличны от нуля.
Т.е. присутствуют все три слагаемых – ax2, bx и c.
Кроме полных квадратных уравнений есть неполные квадратные уравнения.
Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю. В таком уравнении присутствуют не все три слагаемых. Но стоит обратить внимание, что по определению квадратного уравнения, слагаемое ax2 всегда присутствует в квадратном уравнении.
Рассмотрим виды неполных квадратных уравнений. Их три. Научимся решать.
Первый вид.
Если коэффициент b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + c = 0.
Решим его.
1) Перенесем свободный член слева направо, не забудем, при переносе слагаемого меняем его знак. Получим: ax2 = –c.
Например, решим уравнение –3 x2 + 21 = 0.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения.
Получим –3 x2 = –21.
Разделим обе части на –3.
Получаем х2=7.
7>0.
Значит, уравнение имеет два корня.
Рассмотрим еще одно уравнение.
2х2 + 8 = 0.
Перенесем 8 слева направо.
Получим 2х2 = –8.
Разделим обе части на 2.
Уравнение примет вид х2 = –4.
Так как –4 < 0, то такое уравнение корней не имеет.
Рассмотрим второй вид неполных квадратных уравнений.
Если коэффициент с = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + bx = 0.
Решим его.
1) Разложим на множители левую часть уравнения, вынесением за скобку х.
Получим х(ax + b) = 0.
2) Рассуждаем, в каком случае произведение равно нулю.
Если первый множитель х = 0 или второй множитель aх + b=0.
Решаем уравнение aх + b = 0.
aх = –b
Значит, уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня
Надо заметить, что неполное квадратное уравнение вида ax2 + bx = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.
Например, решим уравнение 4x2 – 7x = 0.
Вынесем за скобки х.
Получаем х(4х – 7) = 0.
Отсюда х1 = 0.
Решая уравнение 4х – 7 = 0, находим второй корень х2 = 1,75.
Третий вид неполных квадратных уравнений.
Если коэффициент b = 0 и коэффициент с = 0, то квадратное уравнение принимает вид
ax2 = 0.
Такое квадратное уравнение равносильно уравнению x2 = 0. Поэтому имеет единственный корень х = 0.
Неполное квадратное уравнение в зависимости от его вида может иметь два корня, один корень и не иметь корней.
Важно запомнить:
Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c – коэффициенты, х – переменная, причём a ≠ 0.
Многочлен ax2 + bx + c называют квадратным трёхчленом.
Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 называют приведенным, если коэффициент a = 1.
Полное квадратное уравнение, это уравнение в котором присутствуют все три слагаемых или все коэффициенты a, b, с, отличны от нуля.
Неполным квадратное уравнение называют, если b = 0 или с = 0, или b = 0 и с = 0.
Если уравнение имеет вид ax2 = 0, то оно имеет один корень х = 0.
Если уравнение имеет вид ax2 + bx = 0, для его решения раскладываем левую часть на множители х(ax + b) = 0.
Если уравнение имеет вид ax2 + c = 0, решаем его переносом свободного члена слева направо. Далее обе части делим на коэффициент a.
Если правая часть равенства больше нуля, то уравнение имеет два корня
Иначе, корней нет.
Подпишись и будь
в курсе новых событий и новостей!
