Видеоурок «Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым»
В разделе Геометрия 8 уроков
Содержание:
§ 1  Обратная теорема

В этом уроке выясним, какие теоремы называются обратными, приведем примеры обратных теорем, сформулируем теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, и познакомимся с методом доказательства от противного.

При изучении различных геометрических фигур обычно формулируются определения, доказываются теоремы, рассматриваются следствия из теорем. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение.

Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – это то, что требуется доказать. Очень часто условие теоремы начинается со слова «если», а заключение начинается со слова «то». Например, теорему о свойствах равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны». Первая часть теоремы «Если треугольник равнобедренный» – это условие теоремы, вторая часть теоремы «то углы при его основании равны» – это заключение теоремы.

Теорема, где меняются местами условие с заключением, называется обратной теоремой. Обратная теорема к теореме о свойствах равнобедренного треугольника будет звучать так: «Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный».

Запишем коротко каждую из них:

Мы видим, что условие и заключение поменялись местами.

Каждое из этих утверждений справедливо.

Возникает вопрос: всегда ли является верным утверждение, где условие меняется с заключением местами?

Рассмотрим пример.

Если углы вертикальные, то они равны. Это верное утверждение, у него есть доказательство. Сформулируем обратное утверждение: если углы равны, то они вертикальные. Данное утверждение неверное, в этом легко убедиться, приведя опровергающий пример: возьмем два прямых угла (см. рисунок), они равны, но при этом не являются вертикальными.

Таким образом, обратные утверждения (теоремы) по отношению к уже доказанным утверждениям (теоремам) всегда требуют доказательства.

§ 2  Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Давайте теперь вспомним доказанные утверждения – теоремы, выражающие признаки параллельности двух прямых, сформулируем обратные им теоремы и убедимся в их справедливости, приведя доказательства.

Первый признак параллельности прямых. 

Теорема:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Обратная теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Докажем это утверждение.

Дано: параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ.

Доказать: накрест лежащие углы 1 и 2 равны. (см. рис.)

Доказательство:

Допустим, что углы 1 и 2 не равны.

Отложим от луча АВ угол САВ, равный углу 2, так, чтобы угол САВ и угол 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых СА и b секущей АВ.

По построению эти накрест лежащие углы равны, значит, прямая СА параллельна прямой b.

Мы получили, что через точку А проходят две прямые а и СА, параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Значит, наше допущение неверно, углы 1 и 2 равны.

Теорема доказана.

§ 3  Метод доказательства от противного

При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Начиная доказательство, мы предположили противоположное тому, что требовалось доказать. Считая это предположение верным, путем рассуждений пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. Из этого сделали вывод, что наше предположение не верно, а верно утверждение теоремы. Такой способ доказательства часто используется в математике.

Рассмотрим следствие доказанной теоремы.

Следствие:

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Пусть прямая а параллельна прямой b, прямая с перпендикулярна прямой а, т.е. угол 1 = 90º.

Прямая с пересекает прямую а, значит, прямая с пересекает также прямую b. 

При пересечении параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны, значит, угол 1 = углу 2.

Так как угол 1 = 90º, то и угол 2 = 90º, значит, прямая с перпендикулярна прямой b.

Следствие доказано.

Обратная теорема для второго признака параллельности прямых:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Обратная теорема для третьего признака параллельности прямых:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.

Итак, в этом уроке мы выяснили, какие теоремы называются обратными, сформулировали и рассмотрели теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, а также познакомились с методом доказательства от противного.

Список использованной литературы:
  1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
  2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
  3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!