Видеоурок «Соотношения между сторонами и углами треугольника»
В разделе Геометрия 10 уроков
Содержание:
  • § 1  Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
  • § 2  Неравенство треугольника
  • § 3  Краткие итоги урока
§ 1  Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Треугольник может быть остроугольным, тупоугольным или прямоугольным. Рассмотрим тупоугольный треугольник АВС. Обратите внимание, что напротив тупого угла расположена наибольшая из сторон треугольника. В геометрии существует теорема, подтверждающая этот факт.

Теорема: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим доказательство данной теоремы.

Для этого возьмем треугольник, в котором сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С, лежащий против АВ, больше угла В, лежащего против АС. Отложим на стороне АВ отрезок АК, равный стороне АС. Соединим точки К и С, обратите внимание, что угол АСК является частью угла С, то есть угол АСК меньше угла С.

Теперь рассмотрим угол АКС, он является внешним углом треугольника ВКС, то есть равен сумме углов В и ВСК, значит, угол АКС больше угла В. Поскольку треугольник АКС равнобедренный (по построению АК=АС), угол АКС равен углу АСК.

Таким образом, угол С больше угла АСК, но АСК равен углу АКС, который, в свою очередь, больше угла В. Отсюда следует, что угол С больше угла В, что и требовалось доказать.

Теперь докажем вторую часть теоремы. Пусть в треугольнике АВС угол С больше угла В, докажем, что сторона АВ больше АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ равна АС, либо АВ меньше АС. Если сторона АВ равна АС, тогда треугольник АВС равнобедренный и угол С равен углу В, что противоречит условию. Если сторона АВ меньше стороны АС, тогда по первой части теоремы угол С меньше угла В, что также противоречит условию. Значит наше предположение неверно, и, следовательно, сторона АВ больше АС, что и требовалось доказать.

Имея в виду доказанную теорему, рассмотрим прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике самый большой угол 90 градусов, а против этого угла лежит гипотенуза, это означает, что гипотенуза – наибольшая сторона в прямоугольном треугольнике и соответственно больше любого из катетов. Утверждение о том, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, является следствием теоремы.

Следствие 1: в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Также теорема имеет второе следствие

Следствие 2: если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Это утверждение называют признаком равнобедренного треугольника.

Полный конспект доступен по подписке

Всего - 49 рублей в месяц!

Купить подписку

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!