Видеоурок «Примеры задач на построение»
В разделе Геометрия 14 уроков
Примеры задач на построение

В этом уроке рассмотрим задачи на построение: построить угол, равный данному; построить биссектрису угла; построить перпендикулярные прямые; построить середину отрезка.

С геометрическими построениями приходится иметь дело многим специалистам. Например, всевозможные построения выполняют архитекторы, конструкторы, штурманы. Даже слесарь, закройщик, столяр нередко выполняют построения: слесарь – на жести, закройщик – на ткани, столяр – на доске.

Как правило, в задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую тем или иным условиям. Если не указано, с помощью каких инструментов нужно выполнить построение, значит, имеют в виду только линейку без делений и циркуль.

Задача 1. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Дано: угол А и луч ОN.

Построить: угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОN.

Построение:

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла.

Обозначим точки пересечения окружности со сторонами угла – В и С.

Проведем окружность того же радиуса с центром в начале луча ОN. Эта окружность пересечет луч ОN в точке D.

Теперь построим окружность с центром в точке D и радиусом, равным ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках F и H.

Угол NOF – искомый.

Для доказательства, что угол искомый, достаточно заметить, что треугольники АСВ и ОFD равны по трем сторонам: АС = ОF, АВ = ОD, т.к. это радиусы большой окружности, ВС = DF, т.к. это радиусы малой окружности. В равных треугольниках углы равны, значит, угол ВАС равен углу NOF. Т.е. построенный угол равен данному.

Задача 2. Построить биссектрису данного угла.

Дано: угол А.

Построить: биссектрису угла А.

Решение:

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла.

Она пересечет стороны угла в точках С и В.

Построим еще две окружности одинакового радиуса, равного ВС, с центрами в точках В и С.

Окружности пересекутся в двух точках, одна из которых лежит внутри угла.

Обозначим ее точкой D.

Построим луч АD, он является биссектрисой угла А.

Это следует из равенства треугольников АВD и АСD, они равны по трем сторонам:

АD – общая, АС = АВ как радиусы одной и той же окружности, а СD= ВD как радиусы двух окружностей одинакового радиуса.

Из равенства треугольников следует, что угол ВАD равен углу САD, значит, луч АD – биссектриса данного угла А.

Заметим, что любой угол можно разделить на четыре равных угла.

Для этого надо разделить этот угол пополам и затем каждую половину разделить еще раз пополам. А вот разделить угол на три равных угла невозможно.

Эту нерешаемую задачу назвали задачей о трисекции угла.

Задача 3.

Дано: прямая и точка на ней.

Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение:

Пусть дана прямая а и точка О, принадлежащая этой прямой.

Построим окружность с центром в точке О произвольного радиуса.

Эта окружность пересечет прямую а в двух точках А и В.

Затем построим окружности с центрами в точках А и В радиуса, равного АВ. Эти окружности пересекутся в точках С и D.

Искомая прямая проходит через точки О и С.

Прямая ОС перпендикулярна прямой а.

Это легко доказать, рассмотрев равнобедренный треугольник АВС.

ОС является и медианой, и высотой.

Задача 4.

Построить середину данного отрезка.

Решение:

Пусть АВ – данный отрезок.

Построим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ.

Эти окружности пересекутся в двух точках С и D.

АВПроведем прямую СD. Она пересечет отрезок АВ в точке О.

Точка О – искомая точка, она разделила отрезок АВ пополам.

Это легко можно доказать, рассмотрев треугольники АСD и ВСD.

Они равны по трем сторонам, поэтому угол АСО = углу ВСО.

Следовательно, СО – биссектриса равнобедренного треугольника АСВ, а значит, СО – медиана.

Итак, в этом уроке мы рассмотрели четыре задачи на построение.

Список использованной литературы:
  1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
  2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
  3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!