Вспомним:

Используя распределительное свойство умножения, можно умножить многочлен на одночлен. Для этого каждый член многочлена умножают на одночлен и полученные произведения складывают.

Например, умножим многочлен 3а2 – 2а + 5 на одночлен 3а. Получим:

(3а2 – 2а + 5) ∙ 3а = 3а2 ∙ 3а – 2а∙3а + 5∙3а = 9а3 – 6а2 + 15а

Давайте, используя эти умения, рассмотрим такой пример.

Перемножим многочлены а + b и с + р, т.е. выполним умножение многочлена на многочлен (а + b)(с + р). Что же здесь перемножать: а и с ? Или b и р ? Чтобы справиться с такой двусмысленной ситуацией попробуем заменить многочлен с + р новой переменной у. Тогда наше произведение примет вид:

(а + b)∙у

А это уже ситуация знакомая, это умножение многочлена на одночлен. Здесь каждое слагаемое внутри скобки надо умножить на у и результаты сложить. Получим:

(а + b) ∙ у = ау + bу

А теперь вернёмся к исходному значению переменной у, т.е. к выражению с + р. Наш пример примет вид:

а(с + р) + b(с + р)

Здесь тоже ситуация знакомая: надо дважды выполнить умножение многочлена на одночлен. Получим окончательный ответ:

Ас + ар + bс + bр

А теперь давайте посмотрим, с чего мы начали и к чему пришли:

( а+ b)(с + р)= ас + ар + bс + bр

Что интересного можно заметить? Что ни одно из слагаемых мы не обделили вниманием, и каждое слагаемое из первой скобки было умножено на каждое слагаемое из второй скобки, а полученные произведения мы сложили. Теперь сформулируем правило.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

И ещё несколько замечаний.

Во-первых, в результате умножения многочленов получается многочлен, который в большинстве случаев надо привести к стандартному виду.

Во-вторых, если у одного многочлена а членов, а у другого - b членов, то в произведении должно быть а ∙ b членов.

Если количество членов в получившемся многочлене не такое, то надо искать ошибку. И не забывайте: чтобы не ошибиться со знаками произведений, сначала определите и запишите знак, а потом перемножайте числа и переменные.

Пример 1. Умножить многочлен 3в-4 на многочлен 5+b.

Решение выглядит так:

(3b – 4)(5 + b) = 3b∙ 5 + 3b ∙ b– 4 ∙ 5 – 4 ∙ b = 15b + 3b2 – 20 – 4b = 11b + 3b2 – 20

Каждый член первого двучлена мы поочередно умножили на каждый член второго двучлена, произведения сложили, получилась сумма четырех слагаемых. Затем привели подобные члены и получили многочлен стандартного вида.

Пример 2. Умножить многочлен х2-3х+2 на многочлен х-1.

Заметим, что в результате умножения должна получиться сумма 2 ∙ 3 слагаемых, т.е. 6-ти. Решаем:

(х2 – 3х + 2)(х –1) = х2 ∙ х – х2 ∙ 1 – 3х ∙ х + 3х ∙ 1 + 2х – 2 ∙ 1 = х3 – х2 – 3х2 + 3х + 2х – 2. Получили 6 слагаемых, осталось привести подобные члены. Окончательный ответ:

х3 – 4х2 + 5х – 2