Уравнением называют равенство, содержащее неизвестное, значение которого надо найти. Например, записи:

2а – 4

b + 5

с2 – 2а

не являются уравнениями. Нет равенства, и значение переменной найти не требуется. Это просто буквенные выражения. А вот записи:

4а + 8 = 6

13х – 14 = 2х + 4

являются уравнениями.

Уравнения – это алгебраические модели реальных ситуаций. В процессе работы с моделью мы решаем уравнение.

Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет. Корнем уравнения называют такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Для примера рассмотрим уравнение:

2х – 1 = 5

Если х = 4, то уравнение примет вид числового равенства:

2∙ 4 – 1 = 5 или 7 = 5

Это неверное числовое равенство, а значит число 4 не является корнем уравнения. Если же х = 3, то уравнение примет вид числового равенства:

2∙ 3 – 1 = 5 или 5 = 5

Это верное числовое равенство, а значит число 3 является корнем уравнения. Причём других корней нет.

Уравнение вида ах + b = 0 называют линейным уравнением с одной переменной.

Здесь а и b – коэффициенты, они могут быть выражены любыми числами.

Давайте рассмотрим различные случаи.

1) Если а = 0 и b = 0, то уравнение примет вид 0 ∙ х + 0 = 0. Очевидно, что это уравнение имеет бесконечно много корней, так как любое число при умножении на ноль даёт 0. А значит в результате всегда будет верное числовое равенство.

2) Если а = 0, b ≠0. Тогда уравнение примет вид 0 ∙ х + b = 0. Можно заметить, что такое уравнение не будет иметь ни одного корня. В самом деле, при умножении любого числа на 0 в результате всегда будет получаться 0, но в сумме с числом, отличным от нуля, будет результат отличный от нуля, а значит в любом случае получится неверное числовое равенство.

3) Коэффициент а отличен от нуля, это самый распространенный случай. Рассуждаем так:

Сначала перенесём известное слагаемое в b правую часть уравнения, поменяв знак. Получим:

ах = –b

Затем разделим обе части уравнения на число а. Получим:

х = –b : а

Значит в этом случае уравнение имеет только один корень, а именно:

–b : а

Подведя итоги вышесказанному, можно сделать вывод:

Линейные уравнения с одним неизвестным могут иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь ни одного корня.

А как быть, если уравнение записано в более сложном виде? Например, в виде:

4(х – 4) = 2х + 6

В этом случае нам придётся сначала провести ряд преобразований.

Сначала раскроем скобки. Получим:

4х – 16 = 2х + 6

Затем перенесём неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую, не забыв поменять знак слагаемого при переносе. Получим:

4х – 2х = 6 + 16

Теперь приведём подобные слагаемые. Получим:

2х = 22

Поделив обе части уравнения на 2 имеем х = 11.

Рассмотрим ещё несколько примеров с использованием понятия «линейное уравнение».

Пример 1. Определить количество корней уравнения 3х + 15 = 3(х +2) + 9.

Это линейное уравнение с одной переменной. Чтобы ответить на вопрос надо сначала преобразовать данное уравнение. Для этого раскроем скобки, получим:

3х + 15 = 3х + 6 + 9

Перенесём известные слагаемые в правую часть уравнения, а неизвестные в левую. Получим:

3х – 3х = 6 + 9 – 15

Приведём подобные слагаемые, получим:

0 ∙ х = 0

Это равенство верно при любых значениях х, поэтому уравнение имеет бесконечно много корней.

Пример 2. При каком значении переменной значение выражения 4у – 1 равно значению выражения 3у + 5?

Здесь явно задаётся условие равенства двух выражений. Запишем это равенство, получим:

4у – 1 = 3у + 5

Решив это уравнение способом из примера 1 получим у = 6.

Ответ: значения выражений равны при у = 6.

Пример 3. Маме и дочке вместе 35 лет. Сколько лет дочке, если она на 25 лет моложе мамы?

Составим алгебраическую модель данной реальной ситуации. Пусть дочке х лет, тогда маме х + 25 лет. Так как по условию вместе им 35 лет, то составим уравнение:

х + (х + 25) = 35

Решая это уравнение, находим:

х = 5

Так как буквой х мы обозначили возраст дочки, то найденное число является ответом на вопрос задачи. Ответ: дочке 5 лет.