Видеоурок «Что такое разложение на множители и зачем оно нужно?»
В разделе Алгебра 8 уроков
Содержание:
§ 1  Что такое разложение многочленов на множители

В этом уроке рассмотрим, что математики подразумевают под фразой «разложить многочлен на множители» и в каких случаях целесообразно применять операцию разложения.

Вспомним операцию умножения многочлена х + 3 на многочлен 5х – 1. Для этого сначала каждый член первого многочлена поочередно умножим на каждый член второго многочлена, полученные произведения сложим, а затем приведём подобные члены. Вот что у нас получится:

Мы получили один и тот же многочлен, только записанный в разном виде. Можно сказать так: «многочлен 5х2 + 14х – 3 равен многочлену (х + 3)(5х – 1)». Это означает, что нам удалось представить трёхчлен в виде произведения двух более простых многочленов. В таких случаях математики говорят, что данный многочлен разложен на множители. Таким образом, фраза «разложить многочлен на множители» означает представить данный многочлен в виде произведения нескольких других многочленов.

§ 2  Для чего нужно раскладывать многочлены на множители

И здесь возникает законный вопрос: а зачем нам уметь раскладывать многочлены на множители? Давайте разберёмся.

Пример 1.

Если предложить решить уравнение х – 3 = 0, то это легко сделать. Здесь х = 3. Или решить уравнение х + 1 = 0. И это легко, х = –1. А если предложить решить уравнение х2 – 2х – 3, то эта задача лёгкой не покажется. Специальных формул для решения таких уравнений мы пока не знаем. Но если заметить, что многочлен х2 – 2х – 3 можно представить в виде произведения многочленов х – 3 и х + 1, то уравнение примет вид (х – 3)(х + 1) =0. Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Т.е. х – 3 = 0 или х + 1 = 0. Такие уравнения мы решать умеем. Ответ: х1 = 3, х2 = –1 . Заметим, что этот же метод работает и тогда, когда есть равенство 0 произведения любого числа множителей.

Пример 2.

Решить уравнение (х – 5)(2х – 6)(3х + 9) = 0. В левой части уравнения есть произведение трёх множителей. Раскрывать скобки нет надобности, т.к. мы знаем, что в этом случае один из множителей равен 0. х – 5 = 0 или 2х – 6 = 0 или 3х + 9 = 0. Решая эти простые уравнения, получаем ответ х1 = 5, х2 = 3, х3 = –3.

Пример 3.

Найти значение выражения 5222 – 4222. Можно, конечно, выполнить все действия по порядку: возвести по очереди числа 522 и 422 в квадрат и полученные результаты вычесть. Но можно поступить по-другому. Воспользуемся формулой сокращённого умножения –разность квадратов и получим произведение разности чисел 522 и 422 на сумму этих же чисел. И тогда наш пример сведётся к устным вычислениям. Получим произведение:

100 · 944 = 94400

5222 – 4222 = (522 – 422)(522 + 422)= 100 · 944 = 94400.

§ 3  Краткие итоги по теме урока

В этом уроке мы выяснили, что разложить многочлен на множители означает представить этот многочлен в виде произведения нескольких множителей – других многочленов. Это нужно уметь для того, чтобы преобразовывать числовые и алгебраические выражения, а также быстрее и проще решать уравнения.

Список использованной литературы:
  1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
  2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
  3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
  4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
  5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!