Видеоурок «Правильная Пирамида»
В разделе Геометрия 10 уроков
Содержание:
§ 1  Понятие правильной пирамиды

На этом уроке мы с вами рассмотрим понятие правильной пирамиды, и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Пирамиды, которые чаще всего мы видим это правильные пирамиды, а называются они так потому, что в основании у них лежит правильный многоугольник. Например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, или вообще любой другой правильный n-угольник. Например, известные всем египетские пирамиды – это правильные четырехугольные пирамиды. Интересный факт, стороны основания пирамиды Хеопса, являющегося почти квадратом, составляют около 230 метров, ну а если вычислить площадь основания, то она будет приблизительно равна 5,3 гектара, что в два раза больше Красной площади в Москве.

Начнем изучение правильной пирамиды с определения. Пирамида называется правильной, если ее основанием служит правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него окружности.

§ 2  Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Надо отметить, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Докажем это. Рассмотрим правильную пирамиду PА1А2А3…Аn. Сначала докажем, что все боковые ребра равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим - радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро РА1 – гипотенуза треугольника ОРА1, в котором ОР=h, ОА1=R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно корню квадратному из суммы квадрата высоты и квадрата радиуса описанной окружности. Поэтому РА1=РА2=…РАn.

Мы доказали что боковые ребра правильной пирамиды равны из этого можно сделать вывод, что боковые грани - равнобедренные треугольники. Если добавить что у каждого из этих треугольников основанием является сторона правильного многоугольника, то боковые грани – это равные равнобедренные треугольники. А вывод этот сделан на основании признака равенства треугольников по трем сторонам.

Введем новое определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке РЕ апофема. Так как мы уже выяснили, что все боковые грани равные равнобедренные треугольники, то можно с уверенность говорить, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель ½ d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. периметр. Получилось, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна ½ произведения периметра основания на апофему. Нами была доказана теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды. Дадим ей формулировку. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на высоту боковой грани.

§ 3  Интересные факты

В свое время были измерены всевозможные параметры пирамид Древнего Египта, в том числе и пирамиды, о которой шла речь на этом уроке – пирамиды Хеопса, самого древнего чуда света, единственного сохранившегося до наших дней. Ученые, измерившие эти величины, вычислили, что площадь боковой поверхности пирамиды составляет 85500м².

Мы рассмотрели на этом уроке понятие правильной пирамиды и дали ей точное определение. Разобрали, что все боковые ребра правильной пирамиды являются равными отрезками, а все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Доказали теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Список рекомендованной литературы:
  1. Геометрия. 10 – 11 классы : учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 255 с. : ил. – (МГУ - в школе)
  2. Учебно – методическое пособие в помощь школьному учителю Составитель Яровенко В.А. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л. С. Атанасяна и др. ( М. : Просвещение) 10 класс
  3. Рабинович Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 классы. Геометрия. – М. : Илекса , 2006 . – 80 с.
  4. М. Я Выгодский Справочник по элементарной математике М. : АСТ Астрель , 2006. - 509с.
  5. Аванта+. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика 2-е изд., перераб. — М.: Мир энциклопедий Аванта+: Астрель 2007. — 621 с. Ред. коллегия: М. Аксёнова, В. Володин, М. Самсонов
Использованные изображения:

Подпишись и будь в курсе новых событий и новостей!